Введение в численные методы. Гладких О.Б - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

1.8 3.8 0.7
0 3.57778 2.87222
0 0 17.73577
0 0 0
−−
⎛
⎜
−−
⎜⎟
⎜⎟
⎜
⎝
3.7
1.36111
19.04992
5.40155
⎞
⎟
⎟
⎠
00
0010
0001
⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠
0.26956
08920
0.19885
0.18513
⎜
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
−−
⎝⎠
95
составленной из трапеций. Так как площадь тра-
пеции, построенной на отрезке [
x
i
, x
i+1
] длины
h.=.
Далее, применим процедуру обратного хода четы-
ре раза для столбцов свободных членов, преобра-
зованных по формулам (3.7) из столбцов единич-
ной матрицы:
1000
01
, , , .
Каждый раз будем получать столбцы матрицы A
–1
.
Опустив промежуточные вычисления, приведем
окончательный вид обратной матрицы:
0.21121 0.46003 0.16248
A
–1
=
0.03533 0.16873 0.01573 0.
0.23030 0.04607 0.00944
0.29316 0.38837 0.06128
−−
⎛⎞
⎟
3.6. Метод простой итерации Якоби
Метод Гаусса обладает довольно сложной
вычислительной схемой. Кроме того, при вычис-
лениях накапливается ошибка округления, что
n
ab
−
, равна h
2
1+
)()(
+
ii
x
∫
b
a
dxxf )(
xff
, то, пользуясь этой
формулой для
i = 0, 2, … , n – 1, получим квадра-
турную формулу трапеций:
I= ≈ I
тр
=
=.
h
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
++
+
+
+
−
2
)()(
...
2
)()(
2
)((
1
21
10 nn
xfxf
xfxf
xfxf
=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
∑
−
=
1
1
0
)(
2
)()(
n
i
i
n
xf
xfxf
n
ab
. (5.7)
Оценка погрешности. Для оценки погрешности
формулы трапеций воспользуемся следующей
теоремой.
Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно
дифференцируема на отрезке [
a, b]. Тогда для
формулы трапеций справедлива следующая оцен-
ка погрешности:
| I – I
тр
| ≤
12
)(
2
abM
−
h
2
, (5.8)
где
M
2
= | f "(x)|.
[]
,
max
ab
dxe
x
∫
−
1
0
2
Пример 5.2.
Вычислим значение интеграла по
50 
       ⎛1.8   −3.8         0.7        −3.7 ⎞             составленной из трапеций. Так как площадь тра-
       ⎜ 0 3.57778 −2.87222 −1.36111⎟                    пеции, построенной на отрезке [xi, xi+1] длины
       ⎜                                    ⎟                   b−a           f ( xi ) + f ( xi +1 )
       ⎜ 0      0      17.73577 19.04992 ⎟               h.=.       , равна h                        , то, пользуясь этой
                                                                 n                      2
       ⎜                                    ⎟            формулой для i = 0, 2, … , n – 1, получим квадра-
       ⎝ 0      0           0       5.40155 ⎠
Далее, применим процедуру обратного хода четы-           турную формулу трапеций:
ре раза для столбцов свободных членов, преобра-                                          b

зованных по формулам (3.7) из столбцов единич-                                       I= ∫ f ( x )dx ≈ Iтр =
                                                                                         a
ной матрицы:
                                                                 f ( x0 + f ( x1 ) f ( x1 ) + f ( x2 )         f ( x n −1 ) + f ( x n ) ⎞
               ⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞ ⎛0⎞                            =.h ⎛⎜                  +                    + ... +                          ⎟=
                                                                ⎝         2                   2                           2          ⎠
               ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟ ⎜0⎟
                                                                            f ( x0 ) + f ( x n )
                                                                    = b − a ⎛⎜                                ⎞
                                                                                                    n −1
               ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟.                                                            + ∑ f ( xi ) ⎟ .                 (5.7)
               ⎜0⎟ ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎜0⎟                                          n ⎝          2             i =1       ⎠
               ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
               ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝0⎠ ⎝1⎠                           Оценка погрешности. Для оценки погрешности
                                                         формулы трапеций воспользуемся следующей
Каждый раз будем получать столбцы матрицы A–1.
                                                         теоремой.
Опустив промежуточные вычисления, приведем
                                                         Теорема 5.2. Пусть функция f дважды непрерывно
окончательный вид обратной матрицы:
                                                         дифференцируема на отрезке [a, b]. Тогда для
        ⎛ −0.21121   −0.46003   0.16248     0.26956 ⎞
        ⎜                                                формулы трапеций справедлива следующая оцен-
  A–1 = ⎜ −0.03533    0.16873    0.01573   −0.08920 ⎟⎟   ка погрешности:
        ⎜ 0.23030    0.04607    −0.00944   −0.19885 ⎟
        ⎜                                            ⎟                                              M 2 (b − a ) 2
                                                                                    | I – Iтр | ≤               h,                (5.8)
        ⎝ −0.29316   −0.38837   0.06128    0.18513 ⎠                                                    12
                                                         где M2 = max | f "(x)|.
      3.6. Метод простой итерации Якоби                                  [ a ,b ]
     Метод Гаусса обладает довольно сложной                                                  Пример 5.2.
вычислительной схемой. Кроме того, при вычис-                                                                         1

                                                                                                                      ∫ e dx по
                                                                                                                              2
                                                                                                                         −x
лениях накапливается ошибка округления, что                         Вычислим значение интеграла
                                                                                                                      0


                         50                                                                       95

Страницы