Составители:
11 12
21 22
1
31 32
12
... ...
nn
13 1
23 2
33 3
2
...
...
...
... ... ...
...
n
n
n
n nn
x
xx x
x
xx x
A
xxx x
x
xx
−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
x
Используя соотношения (3.18), (3. 19) и пра-
вило умножения матриц, получим систему из
n
2
уравнений с
n
2
переменными x
ij
, i, j = 1, 2, …, n.
Чтобы получить первый столбец матрицы
E, нуж-
но почленно умножить каждую строку матрицы
A
на первый столбец матрицы
A
–1
и приравнять по-
лученное произведение соответствующему эле-
менту первого столбца матрицы
E. В результате
получим систему уравнений:
a
11
x
11
+ a
12
x
21
+ a
13
x
31
+ … + a
1n
x
n1
= 1
a
21
x
11
+ a
22
x
21
+ a
23
x
31
+ … + a
2n
x
n1
= 0
a
31
x
11
+ a
32
x
21
+ a
33
x
31
+ … + a
3n
x
n1
= 0 (3.20)
……………………………………………….
a
n1
x
11
+ a
n2
x
21
+ a
n3
x
31
+ … + a
nn
x
n1
= 0
Аналогично, чтобы получить второй столбец
матрицы
E, нужно почленно умножить каждую
строку матрицы
A на второй столбец матрицы A
–1
и приравнять полученное произведение соответст-
вующему элементу второго столбца матрицы
E. В
результате получим систему уравнений:
97
i
y = L
2
(x) = f( x
'
) +
h
xfxf
ii
)()(
1
−
+
'
i
( x – x ) +
+
2/
)()(2)(
2
'
1
h
xfxfxf
iii
+−
+
( x –x
'
i
)
2
, (5.9)
где
h =
n
ab
−
.
Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке
[
x
i
, x
i+1
], получим:
I
i
= ≈ =
∫
+1
)(
i
i
x
x
dxxf
∫
+1
)(
2
i
i
x
x
dxxL
=
6
h
'
i
∫
a
dxxf )(
( f (x
i
) + 4 f (x ) + f (x
i+1
)). (5.10)
Суммируя выражение (5.10) по
i = 0, 1, 2, … , n – 1,
получим
квадратурную формулу Симпсона (или
формулу парабол
):
b
I= ≈I
С
=
6
h
∑
−
=
1
0
'
)(
n
i
i
xf
∑
−
=
1
1
)(
n
i
i
xf
( f(x
0
) + f(x
n
) +
+ 4 + 2 ). (5.11)
Оценка погрешности. Для оценки погрешности
формулы Симпсона воспользуемся следующей
теоремой.
Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке
[
a,.b] непрерывную производную четвертого по-
рядка
f
(4)
(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9)
справедлива следующая оценка погрешности:
48
⎛ x11 x12 x13 ... x1n ⎞ f ( xi +1 ) − f ( xi )
y = L2(x) = f( x i' ) + ( x – x i' ) +
⎜x x22 x23 ... x2 n ⎟⎟ h
⎜ 21 f ( xi +1 ) − 2 f ( xi' ) + f ( xi )
A = ⎜ x31
−1
x32 x33 ... x3n ⎟ + 2
( x –x i' )2, (5.9)
h /2
⎜ ⎟ b−a
⎜ ... ... ... ... ... ⎟ где h = .
⎜x xn 2 xn 2 ... xnn ⎟⎠ n
⎝ n1 Проинтегрировав функцию (5.9) на отрезке
Используя соотношения (3.18), (3. 19) и пра- [xi, xi+1], получим:
вило умножения матриц, получим систему из n2 xi +1 xi +1
уравнений с n2 переменными xij, i, j = 1, 2, …, n. Ii = ∫ f ( x )dx ≈ ∫ L ( x )dx =
xi xi
2
Чтобы получить первый столбец матрицы E, нуж- h
но почленно умножить каждую строку матрицы A = ( f (xi) + 4 f (x i' ) + f (xi+1)). (5.10)
6
на первый столбец матрицы A–1 и приравнять по- Суммируя выражение (5.10) по i = 0, 1, 2, … , n – 1,
лученное произведение соответствующему эле- получим квадратурную формулу Симпсона (или
менту первого столбца матрицы E. В результате формулу парабол):
получим систему уравнений: b
h
I= ∫ f ( x )dx ≈IС= ( f(x0) + f(xn) +
a11x11 + a12 x21 + a13x31 + … + a1nxn1 = 1 a
6
a21x11 + a22 x21 + a23x31 + … + a2nxn1 = 0 n −1 n −1
a31x11 + a32 x21 + a33x31 + … + a3nxn1 = 0 (3.20) + 4 ∑ f ( xi' ) + 2 ∑ f ( xi ) ). (5.11)
i =0 i =1
………………………………………………. Оценка погрешности. Для оценки погрешности
an1x11 + an2 x21 + an3x31 + … + annxn1 = 0 формулы Симпсона воспользуемся следующей
Аналогично, чтобы получить второй столбец теоремой.
матрицы E, нужно почленно умножить каждую Теорема 5.2. Пусть функция f имеет на отрезке
строку матрицы A на второй столбец матрицы A–1 [a,.b] непрерывную производную четвертого по-
и приравнять полученное произведение соответст- рядка f (4)(x). Тогда для формулы Симпсона (5.9)
вующему элементу второго столбца матрицы E. В справедлива следующая оценка погрешности:
результате получим систему уравнений:
48 97
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- …
- следующая ›
- последняя »
