Введение в численные методы. Гладких О.Б - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

a
11
x
12
+ a
12
x
22
+ a
13
x
32
+ … + a
1n
x
n2
= 0
формуле трапеций (5.7) и сравним полученный ре-
зультат с результатом примера 5.1.
a
21
x
12
+ a
22
x
22
+ a
23
x
32
+ … + a
2n
x
n2
= 1
a
31
x
12
+ a
32
x
22
+ a
33
x
32
+ … + a
3n
x
n2
= 0 (3.21)
Используя таблицу значений функции
e из
примера 5.1 и производя вычисления по формуле
трапеций (5.7), получим:
2
x−
……………………………………………….
a
n1
x
12
+ a
n2
x
22
+ a
n3
x
32
+ … + a
nn
x
n2
= 0
I
тр
= 0.74621079.
и т. д.
Оценим погрешность полученного значения.
В примере (5.1) получили оценку: |
f "(x)| ≤ M
2
= 2.
Поэтому по формуле (5.8)
| I – I
тр
| ≤
12
12
⋅
'
i
49
1.8 3.8 0.7 3.7
0.7 2.1 2.6 2.8
7.3 8.1 1.7 4.9
1.9 4.3 4.3 4.7
−−
⎛⎞
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
−−−
⎝⎠
Всего, таким образом, получим
n систем по n
уравнений в каждой системе, причем все эти сис-
темы имеют одну и ту же матрицу
A и отличаются
только свободными членами. Приведение матрицы
A к треугольной по формулам (3.7) делается при
этом только один раз. Затем по последней из фор-
мул (3.7) преобразуются все правые части, и для
каждой правой части делается обратный ход.
(0.1)
2
≈ 1.7 ⋅ 10
–3
.
Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2,
видим, что метод средних прямоугольников имеет
меньшую погрешность, т.е. он более точный.
Пример 3.4.
Вычислим обратную матрицу A
–1
для
матрицы
5.4. Метод Симпсона (метод парабол)
Заменим график функции y = f (x) на отрезке
[
x
i
, x
i+1
], i = 0, 2, … , n – 1,
параболой, проведенной через точки
A =
(x
i
, f (x
i
)), (x , f (x )), (x
i+1
, f (x
i+1
)),
'
i
где x
'
i
– середина отрезка [x
i
, x
i+1
]. Эта парабола
есть интерполяционный многочлен второй степени
L
2
(x) с узлами x
i
, x
'
i
, x
i+1
. Нетрудно убедиться, что
уравнение этой параболы имеет вид:
По формулам (3.7) за три шага прямого хода пре-
образуем матрицу
A
в треугольную матрицу
96 
формуле трапеций (5.7) и сравним полученный ре-                        a11x12 + a12 x22 + a13x32 + … + a1nxn2 = 0
зультат с результатом примера 5.1.                                     a21x12 + a22 x22 + a23x32 + … + a2nxn2 = 1
      Используя таблицу значений функции e − x из
                                                             2
                                                                       a31x12 + a32 x22 + a33x32 + … + a3nxn2 = 0   (3.21)
примера 5.1 и производя вычисления по формуле                          ……………………………………………….
трапеций (5.7), получим:                                               an1x12 + an2 x22 + an3x32 + … + annxn2 = 0
                    Iтр = 0.74621079.
                                                                   и т. д.
     Оценим погрешность полученного значения.                           Всего, таким образом, получим n систем по n
В примере (5.1) получили оценку: | f "(x)| ≤ M2 = 2.               уравнений в каждой системе, причем все эти сис-
Поэтому по формуле (5.8)                                           темы имеют одну и ту же матрицу A и отличаются
                                 2 ⋅1                              только свободными членами. Приведение матрицы
                 | I – Iтр | ≤        (0.1)2 ≈ 1.7 ⋅ 10–3.         A к треугольной по формулам (3.7) делается при
                                 12
                                                                   этом только один раз. Затем по последней из фор-
     Сравнивая результаты примеров 5.1 и 5.2,
                                                                   мул (3.7) преобразуются все правые части, и для
видим, что метод средних прямоугольников имеет
                                                                   каждой правой части делается обратный ход.
меньшую погрешность, т.е. он более точный.
                                                                                      Пример 3.4.
       5.4. Метод Симпсона (метод парабол)                              Вычислим обратную матрицу A–1 для
                                                                   матрицы
     Заменим график функции y = f (x) на отрезке
             [xi, xi+1], i = 0, 2, … , n – 1,                                    ⎛ 1.8 −3.8 0.7 −3.7 ⎞
                                                                                 ⎜ 0.7 2.1 −2.6 −2.8 ⎟
параболой, проведенной через точки
                                                                              A= ⎜                     ⎟
             (xi, f (xi)), (x i' , f (x i' )), (xi+1, f (xi+1)),                 ⎜ 7.3 8.1 1.7 −4.9 ⎟
                                                                                 ⎜                     ⎟
где x i' – середина отрезка [xi, xi+1]. Эта парабола                             ⎝ 1.9 −4.3 −4.3 −4.7 ⎠
есть интерполяционный многочлен второй степени                     По формулам (3.7) за три шага прямого хода пре-
L2(x) с узлами xi, x i' , xi+1. Нетрудно убедиться, что            образуем матрицу A в треугольную матрицу
уравнение этой параболы имеет вид:


                                 96                                                           49

Страницы