Введение в численные методы. Гладких О.Б - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

3.5. Вычисление обратной матрицы методом
исключения Гаусса
|
I – I
С
| ≤
2880
)(
4
abM −
[
,
max
ab
h
4
, (5.12)
где
M
4
=
]
| f
(4)
(x)|.
Обратной матрицей к матрице A называется
матрица
A
-1
, для которой выполнено соотношение:
Замечание. Если число элементарных отрезков, на
которые делится отрезок [
a, b], четно , т.е. n = 2m,
то параболы можно проводить через узлы с целы-
ми индексами, и вместо элементарного отрезка [
x
i
,
x
i+1
] длины h рассматривать отрезок [x
2i
, x
2i+2
] дли-
ны 2
h. Тогда формула Симпсона примет вид:
A A
–1
= E, (3.18)
где
E – единичная матрица:
1 0 0 … 0
0 1 0 … 0
E = 0 0 1 … 0 (3.19)
…………….
I ≈
3
h
∑
=
−
m
i
i
xf
1
12
)(
∑
−
=
1
1
2
)(
m
i
i
xf
0 0 0 … 1
(f(x
0
) + f(x
2m
) + 4 + 2 ), (5.13)
а вместо оценки (5.10) будет справедлива следую-
щая оценка погрешности:
| I – I
С
| ≤
180
)(
4
abM −
dxe
x
∫
−
1
0
2
2
x−
47
11 12 13 1
21 22 23 2
31 32 33 3
122
...
...
...
... ... ... ... ...
...
n
n
n
nn n nn
ааа а
ааа а
Квадратная матрица A называется невырож-
денной,
если det A ≠ 0. Всякая невырожденная
матрица имеет обратную матрицу.
Вычисление обратной матрицы можно све-
сти к рассмотренной выше задаче решения систе-
мы уравнений.
h
4
, (5.14)
Пример 5.3.
Пусть
A – квадратная невырожденная матрица по-
рядка
n и A
–1
– ее
обратная матрица: Вычислим значение интеграла по
формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный
результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.
ааа а
ааа а
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
Используя таблицу значений функции
e из
примера 5.1 и производя вычисления по формуле
Симпсона (5.11) , получим:
А
I
С
= 0.74682418.
98 
                                   M 4 (b − a ) 4                           3.5. Вычисление обратной матрицы методом
                    | I – IС | ≤               h,              (5.12)
                                     2880                                               исключения Гаусса
где     M4 =      max | f (4)(x)|.                                               Обратной матрицей к матрице A называется
                  [ a ,b ]
Замечание. Если число элементарных отрезков, на                            матрица A-1, для которой выполнено соотношение:
которые делится отрезок [a, b], четно , т.е. n = 2m,                                            A A–1 = E,           (3.18)
то параболы можно проводить через узлы с целы-                             где E – единичная матрица:
ми индексами, и вместо элементарного отрезка [xi,                                          1 0 0 … 0
xi+1] длины h рассматривать отрезок [x2i, x2i+2] дли-                                      0 1 0 … 0
ны 2h. Тогда формула Симпсона примет вид:                                               E= 0 0 1 … 0                           (3.19)
                                                                                           …………….
                             m                 m −1
      h                                                                                    0 0 0 … 1
I≈      (f(x0) + f(x2m) + 4 ∑ f ( x2i −1 ) + 2 ∑ f ( x2i ) ), (5.13)
      3                     i =1               i =1
                                                                                 Квадратная матрица A называется невырож-
а вместо оценки (5.10) будет справедлива следую-                           денной, если det A ≠ 0. Всякая невырожденная
щая оценка погрешности:                                                    матрица имеет обратную матрицу.
                                   M 4 (b − a ) 4                                Вычисление обратной матрицы можно све-
                    | I – IС | ≤               h,              (5.14)
                                      180                                  сти к рассмотренной выше задаче решения систе-
                                                                           мы уравнений.
                               Пример 5.3.
                                                      1                    Пусть A – квадратная невырожденная матрица по-
                                                      ∫ e dx               рядка n и A–1 – ее обратная матрица:
                                                           2
        Вычислим значение интеграла                      −x
                                                                      по
                                                      0

формуле Симпсона (5.11) и сравним полученный                                              ⎛ а11 а12        а13   ... а1n ⎞
                                                                                          ⎜а                     ... а2 n ⎟⎟
результат с результатами примеров 5.1 и 5.2.                                              ⎜ 21 а22     а23
                                                                                      А = ⎜ а31 а32              ... а3n ⎟
                                                                  2
     Используя таблицу значений функции e − x из                                                       а33
примера 5.1 и производя вычисления по формуле                                             ⎜                                ⎟
Симпсона (5.11) , получим:                                                                ⎜ ... ...    ...       ... ... ⎟
                                                                                          ⎜а                     ... аnn ⎟⎠
                             IС = 0.74682418.                                             ⎝ n1 аn 2    аn 2


                                   98                                                                 47

Страницы