Введение в численные методы. Гладких О.Б - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Непосредственное использование оценок по-
грешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как
при этом требуется вычисление производных
функции
f
(x). В вычислительной практике исполь-
зуются другие оценки.
3-ий шаг. Вычислим множитель:
Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16):
I
h/2
– I
h
≈
k
2
1
Ch
k
(2
k
– 1). (5.17)
Учитывая приближенное равенство (5.16),
получим следующее приближенное равенство:
I – I
h/2
≈
12
2/
−
−
k
hh
II
. (5.18)
Приближенное равенство (5.18) дает апосте-
риорную оценку погрешности. Вычисление этой
оценки называется
правилом Рунге. Правило Рунге
– это эмпирический способ оценки погрешности,
основанный на сравнении результатов вычислений
, проводимых с разными шагами
h.
Для формул прямоугольников и трапеций
k.=.2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для
этих формул приближенное равенство (5.18) при-
нимает вид:
I – I
пр
≈ )(
3
1
2/ h
пр
h
пр
II − , (5.19)
I – I
тр
≈ )(
3
1
2/ h
тр
h
тр
II −
45
3
4
, (5.20)
m =
2
a
43
2
33
a
=
2.28522
4.16425
4
= 0.53333.
Вычитая из четвертого уравнения системы
(3.15) третье, умноженное на
m
3
, приведем систе-
му к треугольному виду:
2.0x
1
+ 1.0x
2
– 0.1x
3
+ 1.0x
4
= 2.7
– 1.15x
2
+ 1.015x
3
+ 5.05x
4
= – 4.305 (3.16)
4.28478
x
3
– 7.38261x
4
= 20.23696
1.11998x
4
= –1.11998
Обратный ход. Обратный ход полностью совпада-
ет с обратным ходом примера 3.1. Решение систе-
мы имеет вид:
x
1
= 1.000, x
2
= 2.000, x
3
= 3.000, x
4
= – 1.000.
3.4. Вычисление определителя методом
исключения Гаусса
Из курса линейной алгебры известно, что
определитель треугольной матрицы равен произ-
ведению диагональных элементов. В результате
метода исключений Гаусса система линейных
уравнений (3.2) с квадратной матрицей
A приво-
дится к эквивалентной ей системе (3.8) с треуголь-
ной матрицей
A
n
. Поэтому
det A = (–1)
s
det A
n
,
100
     Непосредственное использование оценок по-         3-ий шаг. Вычислим множитель:
грешности (5.4), (5.8) и (5.12) неудобно, так как                        2
                                                                        a43   2.28522
при этом требуется вычисление производных                        m4 =
                                                                   3
                                                                         2
                                                                            =         = 0.53333.
                                                                        a33   4.16425
функции f (x). В вычислительной практике исполь-
                                                             Вычитая из четвертого уравнения системы
зуются другие оценки.
                                                       (3.15) третье, умноженное на m 34 , приведем систе-
     Вычтем из равенства (5.15) равенство (5.16):
                                                       му к треугольному виду:
                           1
             Ih/2 – Ih ≈     k
                               Chk(2k – 1).   (5.17)        2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7
                           2
     Учитывая приближенное равенство (5.16),              – 1.15x2 + 1.015x3 + 5.05x4 = – 4.305         (3.16)
получим следующее приближенное равенство:                   4.28478x3 – 7.38261x4 = 20.23696
                                                            1.11998x4 = –1.11998
                           I h/2 − I h                 Обратный ход. Обратный ход полностью совпада-
             I – Ih/2 ≈                .      (5.18)
                             2k − 1                    ет с обратным ходом примера 3.1. Решение систе-
       Приближенное равенство (5.18) дает апосте-      мы имеет вид:
риорную оценку погрешности. Вычисление этой                   x1 = 1.000, x2 = 2.000, x3 = 3.000, x4 = – 1.000.
оценки называется правилом Рунге. Правило Рунге
– это эмпирический способ оценки погрешности,               3.4. Вычисление определителя методом
основанный на сравнении результатов вычислений                       исключения Гаусса
, проводимых с разными шагами h.                             Из курса линейной алгебры известно, что
       Для формул прямоугольников и трапеций           определитель треугольной матрицы равен произ-
k.=.2, а для формулы Симпсона k = 4. Поэтому для       ведению диагональных элементов. В результате
этих формул приближенное равенство (5.18) при-         метода исключений Гаусса система линейных
нимает вид:                                            уравнений (3.2) с квадратной матрицей A приво-
             I – Iпр ≈
                      1 h/2
                        ( I пр − I пр
                                   h
                                      ),      (5.19)   дится к эквивалентной ей системе (3.8) с треуголь-
                      3                                ной матрицей An. Поэтому
                      1 h/2
             I – Iтр ≈ ( I тр  − I тр
                                   h
                                      ),      (5.20)                    det A = (–1)s det An,
                      3


                            100                                                  45

Страницы