Введение в численные методы. Гладких О.Б - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

=
3
1
43
1−k
kk
Если элемент
a мал, то велики ошибки округле-
ния при делении на этот элемент. Для уменьшения
ошибок округления применяют
метод исключения
Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
Прямой ход так же, как и для схемы единственно-
го деления, состоит из
n – 1 шагов. На первом ша-
ге прежде, чем исключать переменную
x
1
, уравне-
ния переставляются так, чтобы в левом верхнем
углу был наибольший по модулю коэффициент
a
i1
,
i =
1, 2, …, n. В дальнейшем, на k-м шаге, прежде
чем исключать переменную
x
k
, уравнения пере-
ставляются так, чтобы в левом верхнем углу был
наибольший по модулю коэффициент
a
ik
, i.=.k,
k.+
1, …, n. После этой перестановки исключение
переменной
x
k
производят, как в схеме единствен-
ного деления.
(0.74678581 – 0.74667084) ≈ 4⋅10
–5
.
Поскольку |
ε
3
| <
ε
, требуемая точность достигнута
и
I ≈ 0.7468 ± 0.0001.
Тема 6. Численное решение дифференциальных
уравнений
6.1. Постановка задачи Коши
Известно, что обыкновенное дифференци-
альное уравнение первого порядка
имеет вид:
y' (t) = f(t, y(t)). (6.1)
Решением уравнения (6.1) является диффе-
ренцируемая функция
y(t), которая при подстанов-
ке в уравнение (6.1) обращает его в тождество. На
рис. 6.1 приведен график решения дифференци-
ального уравнения (6.1). График решения диффе-
ренциального уравнения называется
интегральной
кривой.
Трудоемкость метода.
Дополнительные действия
по выбору главных элементов требуют примерно
n
2
операций, что практически не влияет на общую
трудоемкость метода.
Пример 3.2.
Применим метод исключения Гаусса с вы-
бором главного элемента по столбцу для решения
системы уравнений (3.10) из примера 3.1.
Прямой ход. 1-ый шаг. Так как коэффициент
a
11
.=.2.0 наибольший из коэффициентов первого
столбца, перестановки строк не требуется и 1-ый
Рис. 6.1.
102
      =
          1
            (0.74678581 – 0.74667084) ≈ 4⋅10–5.     Если элемент a kkk−1 мал, то велики ошибки округле-
          3                                         ния при делении на этот элемент. Для уменьшения
Поскольку |ε3| < ε, требуемая точность достигнута   ошибок округления применяют метод исключения
и I ≈ 0.7468 ± 0.0001.                              Гаусса с выбором главного элемента по столбцу.
                                                    Прямой ход так же, как и для схемы единственно-
Тема 6. Численное решение дифференциальных
                                                    го деления, состоит из n – 1 шагов. На первом ша-
                   уравнений
                                                    ге прежде, чем исключать переменную x1, уравне-
         6.1. Постановка задачи Коши
                                                    ния переставляются так, чтобы в левом верхнем
      Известно, что обыкновенное дифференци-        углу был наибольший по модулю коэффициент ai1,
альное уравнение первого порядка имеет вид:         i = 1, 2, …, n. В дальнейшем, на k-м шаге, прежде
                   y' (t) = f(t, y(t)).    (6.1)    чем исключать переменную xk, уравнения пере-
      Решением уравнения (6.1) является диффе-      ставляются так, чтобы в левом верхнем углу был
ренцируемая функция y(t), которая при подстанов-    наибольший по модулю коэффициент aik, i.=.k,
ке в уравнение (6.1) обращает его в тождество. На   k.+1, …, n. После этой перестановки исключение
рис. 6.1 приведен график решения дифференци-        переменной xk производят, как в схеме единствен-
ального уравнения (6.1). График решения диффе-      ного деления.
ренциального уравнения называется интегральной      Трудоемкость метода. Дополнительные действия
кривой.                                             по выбору главных элементов требуют примерно
                                                    n2 операций, что практически не влияет на общую
                                                    трудоемкость метода.
                                                                      Пример 3.2.
                                                           Применим метод исключения Гаусса с вы-
                                                    бором главного элемента по столбцу для решения
                                                    системы уравнений (3.10) из примера 3.1.
                                                    Прямой ход. 1-ый шаг. Так как коэффициент
                                                    a11.=.2.0 наибольший из коэффициентов первого
                       Рис. 6.1.                    столбца, перестановки строк не требуется и 1-ый

                         102                                                43

Страницы