Составители:
Даже для простых дифференциальных урав-
нений первого порядка не всегда удается получить
аналитическое решение. Поэтому большое значе-
ние имеют численные методы решения. Числен-
ные методы позволяют определить приближенные
значения искомого решения y(t) на некоторой вы-
бранной сетке значений аргумента t
i
, (i = 0, 1, …).
Точки t
i
называются узлами сетки, а величина
h
i
.=.t
i+1
– t
i
– шагом сетки. Часто рассматривают
равномерные сетки, для которых шаг h
i
постоянен,
h
i
= h =
n
0
0 in
tT
−
. При этом решение получается в ви-
де таблицы, в которой каждому узлу сетки t
i
соот-
ветствуют приближенные значения функции y(t) в
узлах сетки y
i
≈ y(t
i
).
Численные методы не позволяют найти ре-
шение в общем виде, зато они применимы к широ-
кому классу дифференциальных уравнений.
Сходимость численных методов
решения задачи Коши
Пусть
y(t) – решение задачи Коши. Назовем
глобальной погрешностью (или просто погрешно-
стью) численного метода функцию
ε
i
=.y(t
i
).–.y
i
, за-
данную в узлах сетки t
i
. В качестве абсолютной
погрешности примем величину R = max
≤
≤
41
1
4
| y(t
i
) – y
i
|
Численный метод решения задачи Коши на-
зывается сходящимся, если для него R → 0 при
m =
41
11
a
a
=
1.0
2.0
2 3 4
2
3
= 0.5.
Вычитая из второго, третьего и четвертого уравне-
ний системы (3.10) первое уравнение, умноженное
соответственно на m
1
, m
1
, m
1
, получим новую
систему:
2.0x
1
+ 1.0x
2
– 0.1x
3
+ 1.0x
4
= 2.7
0.3x
2
+ 4.02x
3
– 8.70x
4
= 21.36
– 1.15x
2
+ 1.015x
3
+ 5.05x
4
= – 4.305 (3.11)
– 0.30x
2
+ 2.55x
3
– 1.50x
4
= 8.55
2-ой шаг. Вычислим множители:
m =
1
a
32
1
22
a
=
1.15
0.3
−
= – 3.83333;
m =
2
4
1
42
1
22
a
a
=
0.30
0.3
−
= – 1.0.
Вычитая из третьего и четвертого уравнений сис-
темы (3.11) второе уравнение, умноженное соот-
ветственно на
m
2
и m
2
, приходим к системе:
3
4
2.0x
1
+ 1.0x
2
– 0.1x
3
+ 1.0x
4
= 2.7
0.3x
2
+ 4.02x
3
– 8.70x
4
= 21.36
16. 425
x
3
– 28.300x
4
= 77.575 (3.12)
6.570
x
3
– 10.200x
4
= 29.910
3-ий шаг. Вычислим множитель:
104
Даже для простых дифференциальных урав- a41 1.0
нений первого порядка не всегда удается получить m 14 = = = 0.5.
a11 2.0
аналитическое решение. Поэтому большое значе- Вычитая из второго, третьего и четвертого уравне-
ние имеют численные методы решения. Числен- ний системы (3.10) первое уравнение, умноженное
ные методы позволяют определить приближенные соответственно на m 12 , m 13 , m 14 , получим новую
значения искомого решения y(t) на некоторой вы-
бранной сетке значений аргумента ti, (i = 0, 1, …). систему:
Точки ti называются узлами сетки, а величина 2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7
hi.=.ti+1 – ti – шагом сетки. Часто рассматривают 0.3x2 + 4.02x3 – 8.70x4 = 21.36
равномерные сетки, для которых шаг hi постоянен, – 1.15x2 + 1.015x3 + 5.05x4 = – 4.305 (3.11)
T − t0 – 0.30x2 + 2.55x3 – 1.50x4 = 8.55
hi = h = . При этом решение получается в ви-
n 2-ой шаг. Вычислим множители:
де таблицы, в которой каждому узлу сетки ti соот- 1
a32 −1.15
ветствуют приближенные значения функции y(t) в m3 = 1 =
2
= – 3.83333;
узлах сетки yi ≈ y(ti). a22 0.3
Численные методы не позволяют найти ре- a142 −0.30
шение в общем виде, зато они применимы к широ- m = 1 =
2
4 = – 1.0.
a22 0.3
кому классу дифференциальных уравнений. Вычитая из третьего и четвертого уравнений сис-
Сходимость численных методов темы (3.11) второе уравнение, умноженное соот-
решения задачи Коши ветственно на m 32 и m 24 , приходим к системе:
Пусть y(t) – решение задачи Коши. Назовем
глобальной погрешностью (или просто погрешно- 2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7
0.3x2 + 4.02x3 – 8.70x4 = 21.36
стью) численного метода функцию εi=.y(ti).–.yi, за-
16. 425x3 – 28.300x4 = 77.575 (3.12)
данную в узлах сетки ti. В качестве абсолютной
6.570x3 – 10.200x4 = 29.910
погрешности примем величину R = max | y(ti) – yi|
0≤i ≤ n
3-ий шаг. Вычислим множитель:
Численный метод решения задачи Коши на-
зывается сходящимся, если для него R → 0 при
104 41
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- …
- следующая ›
- последняя »
