Введение в численные методы. Гладких О.Б - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Производную
y'(t) в каждой точке (t, y) мож-
но геометрически интерпретировать как тангенс
угла
α
наклона касательной к графику решения,
проходящего через эту точку, т е.:
k = tg
α
= f (t, y).
m =
3
4
2
43
2
33
a
a
=
6.570
16.425
4
kk
= 0.4.
Вычитая из четвертого уравнения системы (3.12)
третье, умноженное на
m
3
, приведем систему к
треугольному виду:
Уравнение (6.1) определяет целое семейство
решений. Чтобы выделить одно решение, задают
начальное условие:
2.0x
1
+ 1.0x
2
– 0.1x
3
+ 1.0x
4
= 2.7
0.3x
2
+ 4.02x
3
– 8.70x
4
= 21.36
16. 425
x
3
– 28.300x
4
= 77.575 (3.13)
1.12
x
4
= – 1.12
y (t
0
) = y
0
, (6.2)
где
t
0
– некоторое заданное значение аргумента t, а
y
0
– начальное значение функции.
Задача Коши
заключается в отыскании
функции
y = y(t), удовлетворяющей уравнению
(6.1) и начальному условию (6.2). Обычно опреде-
ляют решение задачи Коши на отрезке, располо-
женном справа от начального значения
t
0
, т. е. для
t ∈ [t
0
, T].
Обратный ход. Из последнего уравнения системы
(3.13) находим
x
4
= 1.000. Подставляя значение x
4
в
третье уравнение, получим
x
3
= 2.000. Подставляя
найденные значения
x
4
и x
3
во второе уравнение,
найдем
x
2
= 3.000. Наконец, из первого уравнения,
подставив в него найденные значения
x
4
, x
3
и x
2
,
вычислим
x
1
= – 1.000.
Разрешимость задачи Коши определяет сле-
дующая теорема.
Итак система (3.10) имеет следующее реше-
ние:
Теорема 6.1. Пусть функция f (t, y) определена и
непрерывна при
t
0
≤ t ≤ T, –∞ < y < ∞ и удовлетво-
ряет условию Липшица:
x
1
= 1.000, x
2
= 2.000, x
3
= 3.000, x
4
= – 1.000.
3.3. Метод исключения Гаусса с выбором
главного элемента по столбцу
|
f (t, y
1
) – f (t, y
2
)| ≤ L| y
1
– y
2
|,
где
L некоторая постоянная, а y
1
, y
2
– произволь-
ные значения.
Хотя метод Гаусса является точным мето-
дом, ошибки округления могут привести к суще-
ственным погрешностям результата. Кроме того,
исключение по формулам (3.7) нельзя проводить,
если элемент главной диагонали
a
1−k
равен нулю.
Тогда для каждого начального значения
y
0
существует единственное решение
y(t) задачи Ко-
ши для
t ∈ [t
0
, T].
42
103
                    2
                   a43   6.570                                 Производную y'(t) в каждой точке (t, y) мож-
           m =3
              4     2
                       =        = 0.4.                  но геометрически интерпретировать как тангенс
                   a33 16.425
                                                        угла α наклона касательной к графику решения,
Вычитая из четвертого уравнения системы (3.12)
третье, умноженное на m 34 , приведем систему к         проходящего через эту точку, т е.: k = tgα = f (t, y).
                                                               Уравнение (6.1) определяет целое семейство
треугольному виду:
                                                        решений. Чтобы выделить одно решение, задают
    2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7                 начальное условие:
    0.3x2 + 4.02x3 – 8.70x4 = 21.36                                               y (t0 ) = y0,                  (6.2)
    16. 425x3 – 28.300x4 = 77.575             (3.13)    где t0 – некоторое заданное значение аргумента t, а
    1.12x4 = – 1.12                                     y0 – начальное значение функции.
Обратный ход. Из последнего уравнения системы                  Задача Коши заключается в отыскании
(3.13) находим x4 = 1.000. Подставляя значение x4 в     функции y = y(t), удовлетворяющей уравнению
третье уравнение, получим x3 = 2.000. Подставляя        (6.1) и начальному условию (6.2). Обычно опреде-
найденные значения x4 и x3 во второе уравнение,         ляют решение задачи Коши на отрезке, располо-
найдем x2 = 3.000. Наконец, из первого уравнения,       женном справа от начального значения t0, т. е. для
подставив в него найденные значения x4, x3 и x2,        t ∈ [t0, T].
вычислим x1 = – 1.000.                                         Разрешимость задачи Коши определяет сле-
       Итак система (3.10) имеет следующее реше-        дующая теорема.
ние:                                                    Теорема 6.1. Пусть функция f (t, y) определена и
    x1 = 1.000, x2 = 2.000, x3 = 3.000, x4 = – 1.000.   непрерывна при t0 ≤ t ≤ T, –∞ < y < ∞ и удовлетво-
                                                        ряет условию Липшица:
    3.3. Метод исключения Гаусса с выбором
          главного элемента по столбцу                                    | f (t, y1) – f (t, y2)| ≤ L| y1 – y2|,
      Хотя метод Гаусса является точным мето-           где L некоторая постоянная, а y1 , y2 – произволь-
дом, ошибки округления могут привести к суще-           ные значения.
ственным погрешностям результата. Кроме того,                  Тогда для каждого начального значения y0
исключение по формулам (3.7) нельзя проводить,          существует единственное решение y(t) задачи Ко-
если элемент главной диагонали a kkk−1 равен нулю.      ши для t ∈ [t0, T].

                         42                                                         103

Страницы