Составители:
h.→ 0. Говорят, что метод имеет p-ый порядок
точности, если для погрешности справедлива
оценка R ≤ Ch
p
, p > 0, C – константа, C ≠ 0.
x
n
=
1
1
−
−
n
nn
n
n
a
b
,
x
k
=
1
1−
2+
1−k
kn
1
−k
kk
a
(b –.a x
k+1
– a x
k+2
–…– a x
n
),(3.9)
k
k
1
1,
−
+
k
kk
1
,
−k
kk
6.2. Метод Эйлера
k = n – 1, n – 2, …, 1.
Простейшим методом решения задачи Коши
является метод Эйлера. Будем решать задачу Ко-
ши
Трудоемкость метода.
Для реализации мето-
да исключения Гаусса требуется примерно 2/3n
3
операций для прямого хода и n
2
операций для об-
ратного хода. Таким образом, общее количество
операций составляет примерно 2/3n
3
+ n
2
.
y' (t) = f(t, y(t)).
y(t
0
) = y
0
,
Пример 3.1.
Применим метод исключения Гаусса по схе-
ме единственного деления для решения системы
уравнений:
2.0x
1
+ 1.0x
2
– 0.1x
3
+ 1.0x
4
= 2.7
0.4x
1
+ 0.5x
2
+ 4.0x
3
– 8.5x
4
= 21.9
0.3x
1
– 1.0x
2
+ 1.0x
3
+ 5.2x
4
= – 3.9 (3.10)
1.0x
1
+ 0.2x
2
+ 2.5x
3
– 1.0x
4
= 9.9
Будем делать округление чисел до четырех
знаков после десятичной точки.
Прямой ход.
1-ый шаг. Вычислим множители:
m =
1
2
21
11
a
a
=
0.4
2.0
= 0.2;
m =
1
3
31
11
a
a
=
0.3
2.0
= 0.15;
105
на отрезке [t
0
, T]. Выберем шаг h =
n
tT
0
−
, и по-
строим сетку с системой узлов
t
i
= t
0
+ ih, i = 0, 1, …, n.
В методе Эйлера вычисляются приближен-
ные значения функции y(t) в узлах сетки :
y
i
≈ y(t
i
).
Заменив производную y' (t) конечными разностями
на отрезках
[t
i
, t
i+1
], i = 0, 1, …, n – 1,
получим приближенное равенство:
h
ii
yy
−
= f(t
i
, y
i
), i = 0, 1, …, n – 1,
+1
которое можно переписать так:
y
i+1
= y
i
+ h f(t
i
, y
i
), i = 0, 1, …, n – 1. (6.3)
Формулы (6.3) и начальное условие (6.2) яв-
ляются расчетными формулами метода Эйлера.
40
bnn −1 h.→ 0. Говорят, что метод имеет p-ый порядок
xn = ,
n −1
a nn точности, если для погрешности справедлива
1 оценка R ≤ Ch p, p > 0, C – константа, C ≠ 0.
xk = (b kk −1 –.a kk −,k1+1 xk+1– a kk −,k1+ 2 xk+2 –…– a kkn−1 xn),(3.9)
a kkk −1
k = n – 1, n – 2, …, 1. 6.2. Метод Эйлера
Трудоемкость метода. Для реализации мето- Простейшим методом решения задачи Коши
да исключения Гаусса требуется примерно 2/3n3 является метод Эйлера. Будем решать задачу Ко-
операций для прямого хода и n2 операций для об- ши
ратного хода. Таким образом, общее количество y' (t) = f(t, y(t)).
операций составляет примерно 2/3n3 + n2. y(t0 ) = y0,
T − t0
Пример 3.1. на отрезке [t0, T]. Выберем шаг h = , и по-
n
Применим метод исключения Гаусса по схе- строим сетку с системой узлов
ме единственного деления для решения системы ti = t0 + ih, i = 0, 1, …, n.
уравнений: В методе Эйлера вычисляются приближен-
2.0x1 + 1.0x2 – 0.1x3 + 1.0x4 = 2.7 ные значения функции y(t) в узлах сетки :
0.4x1 + 0.5x2 + 4.0x3 – 8.5x4 = 21.9 yi ≈ y(ti).
0.3x1 – 1.0x2 + 1.0x3 + 5.2x4 = – 3.9 (3.10) Заменив производную y' (t) конечными разностями
1.0x1 + 0.2x2 + 2.5x3 – 1.0x4 = 9.9 на отрезках
Будем делать округление чисел до четырех [ti, ti+1], i = 0, 1, …, n – 1,
знаков после десятичной точки. получим приближенное равенство:
yi +1 − yi
Прямой ход. 1-ый шаг. Вычислим множители: = f(ti, yi), i = 0, 1, …, n – 1,
a 0.4 h
m 12 = 21 = = 0.2; которое можно переписать так:
a11 2.0 yi+1 = yi + h f(ti, yi), i = 0, 1, …, n – 1. (6.3)
a 0.3 Формулы (6.3) и начальное условие (6.2) яв-
m 13 = 31 = = 0.15;
a11 2.0 ляются расчетными формулами метода Эйлера.
40 105
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- …
- следующая ›
- последняя »
