Введение в численные методы. Гладких О.Б - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

m
1
i
=
11
1
a
a
i
ij
1i
22
23 2n
2
1
32
1
33
1
3n
1
3
n n nn n
kk
, i = 2, 3, …, n. (3.4)
107
i
рядок точности. Правило Рунге заключается в сле-
дующем. Пусть y
2/h
– приближения, полученные с
шагом
При этом коэффициенты при x
1
обратятся в
нуль во всех уравнениях, кроме первого.
2
h
i
2/h
h
, а y – приближения, полученные с ша-
гом h. Тогда справедливо приближенное равенст-
во:
Введем обозначения:
1
1 1
a = a
ij
– m
i
a
1j
, b
i
= b
i
– m
1
i
b
1
. (3.5)
Легко убедиться, что для всех уравнений,
начиная со второго, a
1
= 0, i = 2, 3, …, n. Преобра-
зованная система запишется в виде:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ … + a
1n
x
n
= b
1
1
1 1
1
a x
2
+ a x
3
+ … + a x
n
= b
a
x
2
+ a x
3
+ … + a x
n
= b (3.6)
………………………………………
1 1 1 1
a x
2
+ a
3
x
3
+ … + a x
n
= b
2
Все уравнения (3.6), кроме первого, образу-
ют систему (n – 1)-го порядка. Применяя к ней ту
же процедуру, мы можем исключить из третьего,
четвертого, …, n-го уравнений переменную x
2
.
Точно так же исключаем переменную x
3
из по-
следних n – 3 уравнений.
kНа некотором -ом шаге в предположении,
что главный элемент k-ого шага a
1−k
≠
0, перемен-
ная x
k
исключается с помощью формул:
m
i
=
k
1−k
kk
ik
a
1−k
a
,
| y
i
– y(t
i
)| ≈
12
1
−
p
2/h h
i
| y
i
– y |. (6.5)
Таким образом, чтобы оценить погрешность од-
ношагового метода с шагом
2
h
, нужно найти то же
решение с шагом h и вычислить величину, стоя-
щую справа в формуле (6.5), т е.
R ≈
12 −
p
2/h h
2/h
i
h
i
1
| y
i
– y
i
|. (6.6)
Так как метод Эйлера имеет первый порядок точ-
ности, т. е. p = 1, то приближенное равенство (6.6)
примет вид
R ≈ | y – y
i
|. (6.7)
Используя правило Рунге, можно построить
процедуру приближенного вычисления решения
задачи Коши с заданной точностью
ε
. Нужно, на-
чав вычисления с некоторого значения шага h, по-
следовательно уменьшать это значение в два раза,
каждый раз вычисляя приближенное значение y
2/h
,
i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда,
когда будет выполнено условие:
38 
                m 1i =
                         a i1
                              , i = 2, 3, …, n.      (3.4)     рядок точности. Правило Рунге заключается в сле-
                         a11                                   дующем. Пусть y ih / 2 – приближения, полученные с
      При этом коэффициенты при x1 обратятся в                         h
                                                               шагом     , а y ih – приближения, полученные с ша-
нуль во всех уравнениях, кроме первого.                                2
      Введем обозначения:                                      гом h. Тогда справедливо приближенное равенст-
         a 1ij = aij – m 1i a1j , b 1i = bi – m 1i b1. (3.5)   во:
      Легко убедиться, что для всех уравнений,                                                    1
                                                                        | y ih / 2 – y(ti)| ≈        | y ih / 2 – y ih |.   (6.5)
начиная со второго, a 1i1 = 0, i = 2, 3, …, n. Преобра-                                         2 −1
                                                                                                  p


                                                               Таким образом, чтобы оценить погрешность од-
зованная система запишется в виде:                                                                         h
                                                               ношагового метода с шагом                     , нужно найти то же
     a11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1                                                               2
     a 122 x2 + a 123 x3 + … + a 12n xn = b 12                 решение с шагом h и вычислить величину, стоя-
     a 132 x2 + a 133 x3 + … + a 13n xn = b 13       (3.6)     щую справа в формуле (6.5), т е.
                                                                                         1
     ………………………………………                                                            R≈          | y ih / 2 – y ih |.            (6.6)
                                                                                       2 −1
                                                                                         p
     a 1n 2 x2 + a 1n 3 x3 + … + a 1nn xn = b 1n
                                                               Так как метод Эйлера имеет первый порядок точ-
      Все уравнения (3.6), кроме первого, образу-              ности, т. е. p = 1, то приближенное равенство (6.6)
ют систему (n – 1)-го порядка. Применяя к ней ту               примет вид
же процедуру, мы можем исключить из третьего,                                       R ≈ | y ih / 2 – y ih |. (6.7)
четвертого, …, n-го уравнений переменную x2.                         Используя правило Рунге, можно построить
Точно так же исключаем переменную x3 из по-                    процедуру приближенного вычисления решения
следних n – 3 уравнений.                                       задачи Коши с заданной точностью ε. Нужно, на-
      На некотором k-ом шаге в предположении,                  чав вычисления с некоторого значения шага h, по-
что главный элемент k-ого шага a kkk−1 ≠ 0, перемен-           следовательно уменьшать это значение в два раза,
ная xk исключается с помощью формул:                           каждый раз вычисляя приближенное значение y ih / 2 ,
                            aikk −1                            i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются тогда,
                         m = k −1 ,
                            k
                            i
                            a kk                               когда будет выполнено условие:

                                38                                                               107

Страницы