Введение в численные методы. Гладких О.Б - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

ций, и возникает опасность накопления погрешно-
стей.
R ≈
12
1
−
p
2/h h
i i
2/h
i
| y
i
– y
i
| <
ε
. (6.8)
Для метода Эйлера условие (6.8) примет вид
2/h h
Этого недостатка лишены итерационные ме-
тоды, но зато они не всегда сходятся и могут при-
меняться лишь для систем определенных классов.
R ≈ | y – y | <
ε
. (6.9)
Приближенным решением будут значения
y , i = 0, 1, …, n.
Среди прямых методов наиболее распро-
страненным является метод исключения Гаусса и
его модификации, Наиболее распространенными
итерационными методами является метод простых
итераций Якоби и метод Зейделя.
Пример 6.1.
Найдем решение на отрезке [0, 1] следую-
щей задачи Коши:
y' (t) = y –
y
t
2
, (6.10)
3.2. Метод последовательного исключения
неизвестных (метод Гаусса). Схема
единственного деления
y(0) = 1.
Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n =
10
0.2
−
= 5.
Основная идея метода исключений Гаусса
состоит в том, что система уравнений (3.1) приво-
дится к эквивалентной ей системе с верхней тре-
угольной матрицей (прямой ход исключений), а за-
тем неизвестные вычисляются последовательной
подстановкой (обратный ход исключений).
В соответствии с (6.3) получим расчетную
формулу метода Эйлера:
y
i+1
= y
i
+ 0.2
⎟
⎟
⎠
⎜
⎜
⎝
−
i
i
i
y
y
2
⎞⎛
t
, y
0
= 1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Решение представим в виде таблицы 6.1:
Рассмотрим сначала простейший метод ис-
ключения Гаусса, называемый схемой единствен-
ного деления.
Таблица 6.1
i
0 1 2 3 4 5
t
i
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
y
i
1.0000 1.2000 1.3733 1.5294 1.6786 1.8237
Прямой ход состоит из n – 1 шагов. На пер-
вом шаге исключается переменная x
1
из всех урав-
нений, кроме первого. Для этого нужно из второго,
третьего, …, n-го уравнений вычесть первое, ум-
ноженное на величину
Уравнение (6.10) есть уравнение Бернулли.
Его решение можно найти в явном виде:
108
37
                  R≈
                          1
                             | y ih / 2 – y ih | < ε.          (6.8)    ций, и возникает опасность накопления погрешно-
                        2 −1p
                                                                        стей.
Для метода Эйлера условие (6.8) примет вид                                    Этого недостатка лишены итерационные ме-
                      R ≈ | y ih / 2 – y ih | < ε. (6.9)                тоды, но зато они не всегда сходятся и могут при-
        Приближенным решением будут значения                            меняться лишь для систем определенных классов.
y i , i = 0, 1, …, n.
  h/2                                                                         Среди прямых методов наиболее распро-
                           Пример 6.1.                                  страненным является метод исключения Гаусса и
        Найдем решение на отрезке [0, 1] следую-                        его модификации, Наиболее распространенными
щей задачи Коши:                                                        итерационными методами является метод простых
                                           2t                           итераций Якоби и метод Зейделя.
                        y' (t) = y –          ,                (6.10)
                                           y                               3.2. Метод последовательного исключения
                        y(0) = 1.                                               неизвестных (метод Гаусса). Схема
                             1− 0                                                     единственного деления
Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n =    = 5.
                              0.2                                             Основная идея метода исключений Гаусса
     В соответствии с (6.3) получим расчетную                           состоит в том, что система уравнений (3.1) приво-
формулу метода Эйлера:                                                  дится к эквивалентной ей системе с верхней тре-
                   ⎛        2ti    ⎞                                    угольной матрицей (прямой ход исключений), а за-
  yi+1 = yi + 0.2 ⎜⎜ yi −         ⎟⎟ , y0 = 1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
                                                                        тем неизвестные вычисляются последовательной
                   ⎝        yi     ⎠
Решение представим в виде таблицы 6.1:                                  подстановкой (обратный ход исключений).
                                                                              Рассмотрим сначала простейший метод ис-
                                  Таблица 6.1                           ключения Гаусса, называемый схемой единствен-
i     0      1      2      3      4      5                              ного деления.
ti    0     0.2    0.4    0.6    0.8    1.0                                   Прямой ход состоит из n – 1 шагов. На пер-
yi 1.0000 1.2000 1.3733 1.5294 1.6786 1.8237                            вом шаге исключается переменная x1 из всех урав-
                                                                        нений, кроме первого. Для этого нужно из второго,
      Уравнение (6.10) есть уравнение Бернулли.                         третьего, …, n-го уравнений вычесть первое, ум-
Его решение можно найти в явном виде:                                   ноженное на величину

                                    108                                                        37

Страницы