Введение в численные методы. Гладких О.Б - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

y
i+1
= y
i
+ h f , i = 0, 1, …, n – 1. (6.12)
2
1
+i
1i+
Формулы (6.12) являются расчетными формулами
первого модифицированного метода Эйлера.
Первый модифицированный метод Эйлера
является одношаговым методом со вторым поряд-
ком точности
Второй модифицированный метод Эйлера – Ко-
ши.
Суть этого метода состоит в следующем. Сна-
чала вычисляются вспомогательные значения
y
= y
i
+ h f (t
i
, y
i
). (6.13)
Затем приближения искомого решения находятся
по формуле:
y
i+1
= y
i
+
2
h
1i
y
[ f (t
i
, y
i
) + f (t
i+1
,
+
35
)], (6.14)
i = 0, 1, …, n – 1.
Формулы (6.14) являются расчетными формулами
второго модифицированного метода Эйлера –
Коши.
Второй модифицированный метод Эйлера –
Коши, так же, как и первый, является одношаго-
вым методом со вторым порядком точности.
Оценка погрешности.
Приближенная оценка по-
грешности модифицированных методов Эйлера
осуществляется как и для простого метода Эйлера
с использованием правила Рунге (см. предыдущий
раздел 6.2). Так как оба модифицированных мето-
+
341.0
)341.0(1
)9.12(
−−
−
≈ 1.9254.
Продолжая итерационный процесс, получим ре-
зультаты, приведенные в табл. 2.5.
Таблица 2.5
n x
n
0
1
2
3
1.9
1.9254
1.9263
1.9263
Тема 3. Решение систем линейных
алгебраических уравнений
3.1. Постановка задачи
Требуется найти решение системы линейных
уравнений:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ … + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ … + a
2n
x
n
= b
2
a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
+ … + a
3n
x
n
= b
3
(3.1)
…………………………………………….
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ a
n3
x
3
+ … + a
nn
x
n
= b
n
или в матричной форме:
Ax = b, (3.2)
где
110
              yi+1 = yi + h f            , i = 0, 1, …, n – 1. (6.12)                         ( 2 − 1. 9 )
                                i+
                                     1
                                                                                        +                  0.341 ≈ 1.9254.
                                     2
                                                                                            1 − ( −0.341)
Формулы (6.12) являются расчетными формулами
первого модифицированного метода Эйлера.                                Продолжая итерационный процесс, получим ре-
      Первый модифицированный метод Эйлера                              зультаты, приведенные в табл. 2.5.
является одношаговым методом со вторым поряд-                                                              Таблица 2.5
ком точности                                                                               n      xn
Второй модифицированный метод Эйлера – Ко-                                                 0     1.9
ши. Суть этого метода состоит в следующем. Сна-                                            1 1.9254
чала вычисляются вспомогательные значения                                                  2 1.9263
                      y i +1 = yi + h f (ti, yi).      (6.13)                             3 1.9263
Затем приближения искомого решения находятся
по формуле:                                                                     Тема 3. Решение систем линейных
                      h                                                            алгебраических уравнений
         yi+1 = yi + [ f (ti, yi) + f (ti+1, yi +1 )], (6.14)                       3.1. Постановка задачи
                      2
                   i = 0, 1, …, n – 1.                                       Требуется найти решение системы линейных
Формулы (6.14) являются расчетными формулами                            уравнений:
второго модифицированного метода Эйлера –
Коши.                                                                         a11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
      Второй модифицированный метод Эйлера –                                  a21x1 + a22 x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
Коши, так же, как и первый, является одношаго-                                a31x1 + a32 x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3        (3.1)
вым методом со вторым порядком точности.                                      …………………………………………….
Оценка погрешности. Приближенная оценка по-                                   an1x1 + an2 x2 + an3x3 + … + annxn = bn
грешности модифицированных методов Эйлера                               или в матричной форме:
осуществляется как и для простого метода Эйлера
с использованием правила Рунге (см. предыдущий                                                   Ax = b,                     (3.2)
раздел 6.2). Так как оба модифицированных мето-                         где

                                110                                                                  35

Страницы