Введение в численные методы. Гладких О.Б - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Метод ложного положения обладает только
линейной сходимостью. Сходимость тем выше,
чем меньше отрезок [a, b].
да Эйлера имеют второй порядок точности, т.е.
p
.=.2, то оценка погрешности (6.6) примет вид:
Критерий окончания. Критерий окончания итера-
ций метода ложного положения такой же, как и
для метода Ньютона. При заданной точности
ε
.>.0
вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет
выполнено неравенство
| x
n
– x
n – 1
| <
ε
. (2.25)
Пример 2.5.
Применим метод ложного положения для
вычисления корня уравнения x
3
+ 2x – 11 = 0 с
точностью
ε
= 10
–3
.
Корень этого уравнения находится на отрез-
ке [1, 2], так как
f (1) = – 8 < 0, а f (2) = 1 > 0.
Для ускорения сходимости возьмем более узкий
отрезок [1.9, 2], поскольку
f (1.9) < 0, а f (2) > 0.
Вторая производная функции f (x) = x
3
+ 2x – 11
равна 6x. Условие
f (x) f"(x)
≥
0
выполняется для точки b = 2. В качестве начально-
го приближения возьмем x
0
= a = 1.9. По формуле
(2.24) имеем
x
1
= x
0
–
)(
)(
)
0
0
0
xf
xf
x
−
−
111
)(
(
bf
b
= 1.9 +
R ≈
3
2/h h
i
1
| y
i
– y |. (6.15)
Используя правило Рунге, можно построить
процедуру приближенного вычисления решения
задачи Коши модифицированными методами Эй-
лера с заданной точностью
ε
. Нужно, начав вычис-
ления с некоторого значения шага h, последова-
тельно уменьшать это значение в два раза, каждый
раз вычисляя приближенное значение y
2/h
i
, i = 0, 1,
…, n. Вычисления прекращаются тогда, когда бу-
дет выполнено условие:
R ≈
3
2/h
i
h
i
2/h
i
1
| y – y | <
ε
. (6.16)
Приближенным решением будут значения
y , i = 0, 1, …, n.
Пример 6.2.
Применим первый модифицированный ме-
тод Эйлера для решения задачи Коши
t
2
, y(0) = 1, y' (t) = y –
y
рассмотренной в примере 6.1.
Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n =
10
0.2
−
= 5.
34 
     Метод ложного положения обладает только                    да Эйлера имеют второй порядок точности, т.е.
линейной сходимостью. Сходимость тем выше,                      p.=.2, то оценка погрешности (6.6) примет вид:
чем меньше отрезок [a, b].                                                          R≈
                                                                                         1 h/2
                                                                                           | y i – y ih |.          (6.15)
Критерий окончания. Критерий окончания итера-                                            3
ций метода ложного положения такой же, как и                          Используя правило Рунге, можно построить
для метода Ньютона. При заданной точности ε.>.0                 процедуру приближенного вычисления решения
вычисления нужно вести до тех пор, пока не будет                задачи Коши модифицированными методами Эй-
выполнено неравенство                                           лера с заданной точностью ε. Нужно, начав вычис-
                    | xn – xn – 1| < ε.   (2.25)                ления с некоторого значения шага h, последова-
                                                                тельно уменьшать это значение в два раза, каждый
                              Пример 2.5.
                                                                раз вычисляя приближенное значение y ih / 2 , i = 0, 1,
       Применим метод ложного положения для
вычисления корня уравнения x3 + 2x – 11 = 0 с                   …, n. Вычисления прекращаются тогда, когда бу-
точностью ε = 10–3.                                             дет выполнено условие:
                                                                                      1 h/2
       Корень этого уравнения находится на отрез-                                R≈     | y i – y ih | < ε.         (6.16)
                                                                                      3
ке [1, 2], так как
                                                                      Приближенным решением будут значения
                 f (1) = – 8 < 0, а f (2) = 1 > 0.
                                                                y , i = 0, 1, …, n.
                                                                 h/2
Для ускорения сходимости возьмем более узкий                     i

отрезок [1.9, 2], поскольку                                                         Пример 6.2.
                  f (1.9) < 0, а f (2) > 0.                           Применим первый модифицированный ме-
Вторая производная функции f (x) = x3 + 2x – 11                 тод Эйлера для решения задачи Коши
равна 6x. Условие                                                                                  2t
                                                                                    y' (t) = y –      , y(0) = 1,
                        f (x) f"(x) ≥ 0                                                            y
выполняется для точки b = 2. В качестве начально-               рассмотренной в примере 6.1.
го приближения возьмем x0 = a = 1.9. По формуле                                                               1− 0
                                                                       Возьмем шаг h = 0.2. Тогда n =              = 5.
(2.24) имеем                                                                                                   0.2
                              (b − x0 )
              x1 = x0 –                      f ( x0 ) = 1.9 +
                          f ( b) − f ( x 0 )

                             34                                                           111

Страницы