Введение в численные методы. Гладких О.Б - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

y
i
, i = 0, 1, …, 5. Подсчитаем вторую производную функции:
f "(x) = – 8 – e
x
.
Условие f (x) f " (x)
≥
0 выполняется для точки b = 1.
В качестве начального приближения возьмем
x
0
.=.b.=1. В качестве второго начального значения
возьмем x
1.
=.0.5. Проведем вычисления по расчетной
формуле (2.20). Результаты приведены в табл. 2.4.
113
05k
Сравним полученное приближенное реше-
ние с точным решением (6.11), представленном в
таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет
max
≤
| y(t
i
) – y
i
| = 0.0042. R =
≤
Пример 6.3.
Применим второй модифицированный метод
Эйлера – Коши для решения задачи Коши
Таблица 2.4
n x
n
0
1
2
3
4
5
1.0000
0.5000
0.6660
0.7093
0.7033
0.7034
t
2
, y(0) = 1, y' (t) = y –
y
рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же,
как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда
2.7. Метод ложного положения
Рассмотрим еще одну модификацию метода
Ньютона.
Пусть известно, что простой корень x
*
урав-
нения f (x) = 0 находится на отрезке [a, b] и на од-
ном из концов отрезка выполняется условие
f.(x).f"(x)
≥
0. Возьмем эту точку в качестве на-
чального приближения. Пусть для определенности
это будет b. Положим x
0
= a. Будем проводить из
точки B = (b, f(b)) прямые через расположенные на
графике функции точки B
n
с координатами
(x
n
,.f.(x
n
)), n = 0, 1, … . Абсцисса точки пересече-
n =
10
0.2
−
= 5.
В соответствии с (6.14) получим расчетную фор-
мулу метода Эйлера – Коши
y
i+1
= y
i
+
2
h
1i
y
[ f (t
i
, y
i
) + f (t
i+1
,
+
1i
y
)] =
= y
i
+ 0.1[ f (t
i
, y
i
) + f (t
i+1
,
+
)],
где f (t
i
, y
i
) = y
i
–
i
i
y
t
2
1i
y
=
+
= y
i
+ h f (t
i
, y
i
) = y
i
+ 0.1
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
i
i
i
y
t
y
2
,
t
0
= 0, y
0
= 1, i = 0, 1, …, 4.
32 
Подсчитаем вторую производную функции:                                     yi, i = 0, 1, …, 5.
                     f "(x) = – 8 – ex.                       Сравним полученное приближенное реше-
Условие f (x) f " (x) ≥ 0 выполняется для точки b = 1.   ние с точным решением (6.11), представленном в
В качестве начального приближения возьмем                таблице 6.2. Виднм, что погрешность составляет
x0.=.b.=1. В качестве второго начального значения                      R = max | y(ti) – yi| = 0.0042.
                                                                                   0 ≤ k ≤5
возьмем x1.=.0.5. Проведем вычисления по расчетной
формуле (2.20). Результаты приведены в табл. 2.4.                          Пример 6.3.
                                                              Применим второй модифицированный метод
                                         Таблица 2.4     Эйлера – Коши для решения задачи Коши
                    n       xn                                                                2t
                    0     1.0000                                          y' (t) = y –           , y(0) = 1,
                                                                                              y
                    1     0.5000                         рассмотренной ранее в примерах 6.1 и 6.2. Так же,
                    2     0.6660                         как и ранее, зададим шаг h = 0.2. Тогда
                    3     0.7093
                                                                               1− 0
                    4     0.7033                                            n=       = 5.
                    5     0.7034                                                0.2
                                                         В соответствии с (6.14) получим расчетную фор-
            2.7. Метод ложного положения                 мулу метода Эйлера – Коши
        Рассмотрим еще одну модификацию метода                                      h
Ньютона.                                                           yi+1 = yi +        [ f (ti, yi) + f (ti+1, y i +1 )] =
                                                                                    2
        Пусть известно, что простой корень x* урав-                = yi + 0.1[ f (ti, yi) + f (ti+1, y i +1 )],
нения f (x) = 0 находится на отрезке [a, b] и на од-
ном из концов отрезка выполняется условие                                          2ti
                                                         где   f (ti, yi) = yi –       y =
f.(x).f"(x) ≥ 0. Возьмем эту точку в качестве на-                                  yi i +1
чального приближения. Пусть для определенности                                                      ⎛      2t i   ⎞
                                                               = yi + h f (ti, yi) = yi + 0.1 ⎜⎜ yi −             ⎟⎟ ,
это будет b. Положим x0 = a. Будем проводить из                                                     ⎝      yi      ⎠
точки B = (b, f(b)) прямые через расположенные на              t0 = 0, y0 = 1, i = 0, 1, …, 4.
графике функции точки Bn с координатами
(xn,.f.(xn)), n = 0, 1, … . Абсцисса точки пересече-
                         32                                                                   113

Страницы