Введение в численные методы. Гладких О.Б - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

y' (t) = f (t, y(t))
с начальным условием
y (t
0
) = y
0.
Как и в методе Эйлера, выберем шаг
h.=.
0
T
n
t
−
и построим сетку с системой узлов
t
i
= t
0
+ i h, i = 0, 1, …, n.
Обозначим через y
i
приближенное значение иско-
мого решения в точке t
i
.
Приведем расчетные формулы метода
Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
Рис. 2.9.
Сходимость метода. Сходимость метода секущих
устанавливает следующая теорема.
Теорема 2.4.
Пусть x
*
– простой корень уравнения
f.(x) = 0, и в некоторой окрестности этого корня
функция f дважды непрерывно дифференцируема,
причем f"(x) ≠ 0. Тогда найдется такая малая
σ
-
окрестность корня x
*
, что при произвольном выбо-
ре начальных приближений x
0
и
x
1
из этой окрест-
ности итерационная последовательность, опреде-
ленная по формуле (2.20) сходится и справедлива
оценка:
| x
n + 1
– x
*
| ≤ C | x
n
– x
*
|
p
,
n
≥
0, p =
2
115
15
+
≈ 1.618.
Сравнение оценок (2.15) и (2.21) показывает,
что p < 2, и метод секущих сходится медленнее,
чем метод Ньютона. Но в методе Ньютона на каж-
(2.21)
y
i+1
= y
i
+
6
1
i
2
i
3
i
4
i
1
i
2
i
1
h(k + 2k + 2k + k ),
k = f (t
i
, y
i
),
h
k = f (t
i
+ , y
i
+
2 2
h
1
i
3
k ), (6.17)
k
i
= f (t
i
+
2
h
, y
i
+
2
h
2
i
4 3
k ),
k
i
= f (t
i
+h, y
i
+ hk
i
),
i = 0, 1, …, n.
Оценка погрешности. Оценка погрешности метода
Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку по-
грешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так
как метод Рунге – Кутта имеет четвертый порядок
точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6)
примет вид
30 
                                                                                y' (t) = f (t, y(t))
                                                         с начальным условием
                                                                                y (t0 ) = y0.
                                                                Как и в методе Эйлера, выберем шаг
                                                              T − t0
                                                         h.=.        и построим сетку с системой узлов
                                                                n
                                                                             ti = t0 + i h, i = 0, 1, …, n.
                                                         Обозначим через yi приближенное значение иско-
                                                         мого решения в точке ti.
                      Рис. 2.9.                                 Приведем расчетные формулы метода
                                                         Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
Сходимость метода. Сходимость метода секущих                                           1
устанавливает следующая теорема.                                      yi+1 = yi +        h(k 1i + 2k i2 + 2k i3 + k i4 ),
                                                                                       6
Теорема 2.4. Пусть x* – простой корень уравнения                      k 1i = f (ti, yi),
f.(x) = 0, и в некоторой окрестности этого корня                                    h             h 1
функция f дважды непрерывно дифференцируема,                          k i2 = f (ti +  , yi +        k i ),            (6.17)
                                                                                    2             2
причем f"(x) ≠ 0. Тогда найдется такая малая σ-                                     h             h 2
окрестность корня x*, что при произвольном выбо-                      k i3 = f (ti + , yi +         k i ),
                                                                                    2             2
ре начальных приближений x0 и x1 из этой окрест-                       k i4 = f (ti +h, yi + hk i3 ),
ности итерационная последовательность, опреде-                         i = 0, 1, …, n.
ленная по формуле (2.20) сходится и справедлива          Оценка погрешности. Оценка погрешности метода
оценка:                                                  Рунге – Кутта затруднительна. Грубую оценку по-
               | xn + 1 – x*| ≤ C | xn – x*| p,          грешности дает правило Рунге (см. раздел 6.2). Так
                               5 +1             (2.21)
               n ≥ 0, p =            ≈ 1.618.            как метод Рунге – Кутта имеет четвертый порядок
                           2                             точности, т. е. p = 4, то оценка погрешности (6.6)
     Сравнение оценок (2.15) и (2.21) показывает,        примет вид
что p < 2, и метод секущих сходится медленнее,
чем метод Ньютона. Но в методе Ньютона на каж-
                         30                                                            115

Страницы