Введение в численные методы. Гладких О.Б - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Итерационная формула метода (2.13) примет вид:
x
n +1
= x
n
–
1
)
(
−
−
p
a
(
)
n
p
n
xp
x
=
p
p
1−
x
n
+
1
)(
−p
n
xp
a
. (2.19)
Используя формулу (2.19), найдем
3
7 с точностью
ε
= 10
–3
.
x
n +1
=
3
2
x
n
+
2
)(3
7
n
x
.
Простой корень уравнения x
3
– 7 = 0 распо-
ложен на отрезке [1, 2]. Действительно, на концах
отрезка [1, 2] функция f (x) = x
3
– 7 принимает раз-
ные знаки, f (1) < 0, f (2) > 0. Кроме того, при x = 2
выполнено достаточное условие сходимости
(2.16): f (2)f" (2)
≥
0.
Поэтому в качестве начального приближе-
ния можно взять x
0
= 2. Результаты приведены в
табл. 2.3.
Таблица 2.3
n x
n
0
1
2
3
4
5
2
0.8415
0.8861
0.8742
0.8774
0.8765
117
2
i
k = 2(t
i
+
2
h
)(y
i
+
2
h
3
i
k
1
i
), (6.21)
k = 2(t
i
+
2
h
)(y
i
+
2
h
2
i
4
i
3
2
t
k ),
k = 2(t
i
+h)(y
i
+ hk
i
),
i = 0, 1, …, 10.
Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e , по-
этому погрешность определяется как абсолютная
величина разности между точными и приближен-
ными значениями
ε
i
= | y(t
i
) – y
i
|.
Найденные по формулам (6.21) приближен-
ные значения решения y
i
и их погрешности
ε
i
пред-
ставлены в таблице 6.5:
Таблица 6.5
t
i
y
i
ε
i
t
i
y
i
ε
i
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1.01005
1.04081
1.09417
1.17351
1.28403
10
– 9
4⋅10
– 9
2⋅10
– 8
6⋅10
– 8
2⋅10
– 7
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
1.43333
1.63232
1.89648
2.24790
2.71827
5⋅10
– 7
2⋅10
– 6
3⋅10
– 6
6⋅10
– 6
2⋅10
–5
28 
Итерационная формула метода (2.13) примет вид:                                                   h       h
                                                                                 k i2 = 2(ti +     )(yi + k 1i ),   (6.21)
               (x ) − a
                   p
                         p −1          a                                                         2       2
   xn +1 = xn – n p −1 =      xn +              .         (2.19)
                p( xn )    p       p( xn ) p −1                                                  h       h
                                                                                 k i3 = 2(ti +     )(yi + k i2 ),
                                                                                                 2       2
Используя формулу (2.19), найдем               3
                                                   7 с точностью
ε = 10–3.                                                                        k i4 = 2(ti +h)(yi + hk i3 ),
                                 2         7
                       xn +1 =     xn +           .                              i = 0, 1, …, 10.
                                 3      3( xn ) 2
                                                                                                                    2

      Простой корень уравнения x3 – 7 = 0 распо-                   Задача (6.20) имеет точное решение: y(t) = e t , по-
ложен на отрезке [1, 2]. Действительно, на концах                  этому погрешность определяется как абсолютная
отрезка [1, 2] функция f (x) = x3 – 7 принимает раз-               величина разности между точными и приближен-
ные знаки, f (1) < 0, f (2) > 0. Кроме того, при x = 2             ными значениями εi = | y(ti) – yi|.
выполнено достаточное условие сходимости                                  Найденные по формулам (6.21) приближен-
(2.16): f (2)f" (2) ≥ 0.                                           ные значения решения yi и их погрешности εi пред-
      Поэтому в качестве начального приближе-                      ставлены в таблице 6.5:
ния можно взять x0 = 2. Результаты приведены в                                                            Таблица 6.5
табл. 2.3.                                                             ti     yi       εi       ti     yi       εi
                                                                                        –9
                                          Таблица 2.3                 0.1 1.01005 10           0.6 1.43333 5⋅10– 7
                        n     xn                                      0.2 1.04081 4⋅10– 9 0.7 1.63232 2⋅10– 6
                        0      2                                      0.3 1.09417 2⋅10– 8 0.8 1.89648 3⋅10– 6
                        1   0.8415                                    0.4 1.17351 6⋅10– 8 0.9 2.24790 6⋅10– 6
                        2   0.8861                                    0.5 1.28403 2⋅10– 7 1.0 2.71827 2⋅10–5
                        3   0.8742
                        4   0.8774
                        5   0.8765



                                 28                                                              117

Страницы