Введение в численные методы. Гладких О.Б - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Типовые контрольные работы
Метод Ньютона можно рассматривать как
частный случай метода простых итераций, для ко-
торого
Контрольная работа №1
ϕ
(x) = x –
)('
)(
xf
xf
≥
119
Задача 1.
Отделить корни уравнения графически и
уточнить один из них с точностью до 0,001 мето-
дом Ньютона (касательных):
3
35
. (2.14)
Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона
устанавливает следующая теорема.
x
x
+
+ 0=.
Задача 2. Вычислить по формуле Симпсона
Теорема 2.3.
Пусть x
*
– простой корень уравнения
f.(x) = 0, и в некоторой окрестности этого корня
функция f дважды непрерывно дифференцируема.
Тогда найдется такая малая
σ
-окрестность корня
x
*
, что при произвольном выборе начального при-
ближения x
0
из этой окрестности итерационная по-
следовательность, определенная по формуле (2.13)
не выходит за пределы этой окрестности и спра-
ведлива оценка:
| x
n + 1
– x
*
| ≤ C | x
n
– x
*
|
2
, n 0, (2.15)
где С =
σ
–1
. Оценка (2.15) означает, что метод
сходится с квадратичной скоростью.
Сходимость метода Ньютона зависит от то-
го, насколько близко к корню выбрано начальное
приближение. Неудачный выбор начального при-
ближения может дать расходящуюся последова-
тельность. Полезно иметь в виду следующее дос-
таточное условие сходимости метода. Пусть
[a,.b] – отрезок, содержащий корень. Если в каче-
∫
+
4
1x
8
dx
, приняв n = 8.
Оценить погрешность по методу удвоения шага
вычислений. Вычисления вести с пятью знаками
после запятой. Сравнить со значением, найденным
по формуле Ньютона – Лейбница.
Задача 3. Методом Рунге – Кутта решить задачу
Коши для ОДУ
0,5 ;у y
y
′
=+
x
y(0)=1 на отрезке [0; 0,5] с шагом h =
0,1. Вычисления вести с тремя верными знаками.
Контрольная работа №2
Задача 1.
Методом простой итерации решить
СЛАУ с точностью до 0,001 (
ε
=10
-3
)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
.42,071,01,015,0
,32,01,034,003,0
,34,015,005,063,0
321
321
321
ххх
ххх
ххх
26 
     Метод Ньютона можно рассматривать как                               Типовые контрольные работы
частный случай метода простых итераций, для ко-                          Контрольная работа №1
торого                                                       Задача 1. Отделить корни уравнения графически и
                                    f ( x)
                    ϕ (x) = x –             .       (2.14)   уточнить один из них с точностью до 0,001 мето-
                                   f ' ( x)
                                                             дом Ньютона (касательных):
Сходимость метода. Сходимость метода Ньютона                                  x3 + 3x + 5 = 0 .
устанавливает следующая теорема.
Теорема 2.3. Пусть x* – простой корень уравнения             Задача 2. Вычислить по формуле Симпсона
                                                                                 8
f.(x) = 0, и в некоторой окрестности этого корня                                     dx
функция f дважды непрерывно дифференцируема.                                     ∫
                                                                                 4   x +1
                                                                                            , приняв n = 8.

Тогда найдется такая малая σ-окрестность корня               Оценить погрешность по методу удвоения шага
x*, что при произвольном выборе начального при-              вычислений. Вычисления вести с пятью знаками
ближения x0 из этой окрестности итерационная по-             после запятой. Сравнить со значением, найденным
следовательность, определенная по формуле (2.13)             по формуле Ньютона – Лейбница.
не выходит за пределы этой окрестности и спра-               Задача 3. Методом Рунге – Кутта решить задачу
ведлива оценка:                                              Коши для ОДУ
           | xn + 1 – x*| ≤ C | xn – x*|2, n ≥ 0,   (2.15)        x
                                                             у ′ = + 0,5 y; y(0)=1 на отрезке [0; 0,5] с шагом h =
где С = σ –1. Оценка (2.15) означает, что метод                   y
сходится с квадратичной скоростью.                           0,1. Вычисления вести с тремя верными знаками.
       Сходимость метода Ньютона зависит от то-                         Контрольная работа №2
го, насколько близко к корню выбрано начальное               Задача 1. Методом простой итерации решить
приближение. Неудачный выбор начального при-                 СЛАУ с точностью до 0,001 ( ε =10-3)
ближения может дать расходящуюся последова-
                                                             ⎧0,63х1 + 0,05 х 2 + 0,15 х3 = 0,34,
тельность. Полезно иметь в виду следующее дос-               ⎪
таточное условие сходимости метода. Пусть                    ⎨0,03х1 + 0,34 х 2 + 0,1х3 = 0,32,
                                                             ⎪0,15 х + 0,1х + 0,71х = 0,42.
[a,.b] – отрезок, содержащий корень. Если в каче-            ⎩      1      2          3




                           26                                                                119

Страницы