Введение в численные методы. Гладких О.Б - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

2.6. Метод секущих (метод хорд)
R ≈
15
1
2/h
i
h
i
| y – y
i
|. (6.18)
В этом и следующем разделе рассмотрим
модификации метода Ньютона.
Используя правило Рунге, можно построить
процедуру приближенного вычисления решения
задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого
порядка точности с заданной точностью
ε
. Нужно,
начав вычисления с некоторого значения шага h,
последовательно уменьшать это значение в два
раза, каждый раз вычисляя приближенное значе-
ние y
2/h
, i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются
тогда, когда будет выполнено условие:
Как видно из формулы (2.13), метод Ньюто-
на требует для своей реализации вычисления про-
изводной, что ограничивает его применение. Ме-
тод секущих лишен этого недостатка. Если произ-
водную заменить ее приближением:
R ≈
15
1
| y
i
– y
i
| <
ε
. (6.19)
2/h h
2/h
i
Приближенным решением будут значения y ,
i.=.0, 1, …, n.
Пример 6.4.
Методом Рунге – Кутта четвертого порядка
точности найдем решение на отрезке [0, 1] сле-
дующей задачи Коши.
y' (t) = 2t y, y(0) = 1. (6.20)
Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n =
10
0.1
−
= 10.
В соответствии с (6.17) расчетные формулы
примут вид:
y
i+1
= y
i
+
6
1
1
i
2
i
3
i
4
i
1
i
29
h(k + 2k + 2k + k ),
k = 2t
i
y
i
,
f '(x
n
) ≈
1
1
−
−
−
)()(
−
nn
nn
xx
xfxf
,
то вместо формулы (2.13) получим
x
n +1
= x
n
–
)()(
)
1
1
−
−
−
()(
−
nn
nnn
xfxf
xfxx
. (2.20)
Это означает, что касательные заменены секущи-
ми. Метод секущих является двухшаговым мето-
дом, для вычисления приближения x
n +1
необходи-
мо вычислить два предыдущих приближения x
n
и
x
n – 1
, и, в частности, на первой итерации надо
знать два начальных значения x
0
и x
1
.
Формула (2.20) является расчетной форму-
лой метода секущих. На рис. 2.9 приведена гео-
метрическая иллюстрация метода секущих.
Очередное приближение x
n +1
получается как точка
пересечения с осью OX секущей, соединяющей
точки графика функции f(x)
с координатами
(x
n – 1
, f (x
n – 1
)) и (x
n
, f (x
n
)).
116
                        R≈
                                 1
                                   | y ih / 2 – y ih |.       (6.18)           2.6. Метод секущих (метод хорд)
                                15                                           В этом и следующем разделе рассмотрим
       Используя правило Рунге, можно построить                        модификации метода Ньютона.
процедуру приближенного вычисления решения                                   Как видно из формулы (2.13), метод Ньюто-
задачи Коши методом Рунге – Кутта четвертого                           на требует для своей реализации вычисления про-
порядка точности с заданной точностью ε. Нужно,                        изводной, что ограничивает его применение. Ме-
начав вычисления с некоторого значения шага h,                         тод секущих лишен этого недостатка. Если произ-
последовательно уменьшать это значение в два                           водную заменить ее приближением:
раза, каждый раз вычисляя приближенное значе-                                                    f ( x n ) − f ( xn −1 )
                                                                                     f '(xn) ≈                           ,
ние y ih / 2 , i = 0, 1, …, n. Вычисления прекращаются                                                xn − xn −1
тогда, когда будет выполнено условие:                                  то вместо формулы (2.13) получим
                             1                                                                     ( xn − xn −1 ) f ( xn )
                     R≈        | y ih / 2 – y ih | < ε.       (6.19)                xn +1 = xn –                           .   (2.20)
                            15                                                                      f ( xn ) − f ( xn −1 )
Приближенным решением будут значения y ih / 2 ,                        Это означает, что касательные заменены секущи-
i.=.0, 1, …, n.                                                        ми. Метод секущих является двухшаговым мето-
                    Пример 6.4.                                        дом, для вычисления приближения xn +1 необходи-
       Методом Рунге – Кутта четвертого порядка                        мо вычислить два предыдущих приближения xn и
точности найдем решение на отрезке [0, 1] сле-                         xn – 1 , и, в частности, на первой итерации надо
дующей задачи Коши.                                                    знать два начальных значения x0 и x1.
                   y' (t) = 2t y, y(0) = 1.    (6.20)                         Формула (2.20) является расчетной форму-
                                   1− 0                                лой метода секущих. На рис. 2.9 приведена гео-
Возьмем шаг h = 0.1. Тогда n =           = 10.                         метрическая иллюстрация метода секущих.
                                    0.1
       В соответствии с (6.17) расчетные формулы                       Очередное приближение xn +1 получается как точка
примут вид:                                                            пересечения с осью OX секущей, соединяющей
                               1                                       точки графика функции f(x) с координатами
              yi+1 = yi +        h(k 1i + 2k i2 + 2k i3 + k i4 ),
                               6                                                  (xn – 1, f (xn – 1)) и (xn , f (xn)).
              k 1i = 2ti yi,

                               116                                                                 29

Страницы