Введение в численные методы. Гладких О.Б - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Решение представим в виде таблицы 6.4. Таблица
заполняется последовательно по строкам, сначала
первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец
таблицы 6.4 содержит приближенное решение
дой итерации надо вычислять и функцию, и про-
изводную, а в методе секущих – только функцию.
Поэтому при одинаковом объеме вычислений в
методе секущих можно сделать примерно вдвое
больше итераций и получить более высокую точ-
ность.
y
i
, i = 0, 1, …, 5.
Таблица 6.4
Так же, как и метод Ньютона, при неудачном
выборе начальных приближений (вдали от корня)
метод секущих может расходиться. Кроме того
применение метода секущих осложняется из-за то-
го, что в знаменатель расчетной формулы метода
(2.20) входит разность значений функции. Вблизи
корня эта разность мала, и метод теряет устойчи-
вость.
i t
i
y
i
2
h
1
~
+i
y
1
f(t
i+1
,
~
f (t
i
, y
i
)
t
i+1
+i
y )
0
1
2
3
4
5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1
1.1867
1.3484
1.4938
1.6272
1.7542
0.1
0.0850
0.0755
0.0690
0.0645
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.3566
1.4993
1.6180
1.7569
0.867
0.767
0.699
0.651
0.618
Сравним полученное приближенное реше-
ние с точным решением (6.11), представленном в
таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет
maxR =
05k
≤
≤
31
| y(t
i
) – y
i
| = 0.0222.
Критерий окончания. Критерий окончания итера-
ций метода секущих такой же, как и для метода
Ньютона. При заданной точности
ε
> 0 вычисле-
ния нужно вести до тех пор, пока не будет выпол-
нено неравенство
| x
n
– x
n – 1
| <
ε
. (2.22)
6.4. Метод Рунге – Кутта
Пример 2.4.
Применим метод секущих для вычисления
положительного корня уравнения 4(1 – x
2
) – e
x
= 0
с точностью
ε
= 10
–3
.
Метод Рунге – Кутта является одним из наи-
более употребительных методов высокой точно-
сти. Метод Эйлера можно рассматривать как про-
стейший вариант метода Рунге – Кутта.
Корень этого уравнения находится на отрез-
ке [0, 1], так как
Рассмотрим задачу Коши для дифференци-
ального уравнения
f (0) = 3 > 0, а f (1) = – e < 0.
114
Решение представим в виде таблицы 6.4. Таблица                           дой итерации надо вычислять и функцию, и про-
заполняется последовательно по строкам, сначала                          изводную, а в методе секущих – только функцию.
первая строка, затем вторая и т. д. Третий столбец                       Поэтому при одинаковом объеме вычислений в
таблицы 6.4 содержит приближенное решение                                методе секущих можно сделать примерно вдвое
                    yi, i = 0, 1, …, 5.                                  больше итераций и получить более высокую точ-
                                                     Таблица 6.4         ность.
                                             ~                                 Так же, как и метод Ньютона, при неудачном
 i   ti      yi     h
                      f (ti, yi) ti+1
                                             yi +1    f(ti+1, ~yi +1 )   выборе начальных приближений (вдали от корня)
                    2
                                                                         метод секущих может расходиться. Кроме того
 0    0       1       0.1             0.2     1.2        0.867           применение метода секущих осложняется из-за то-
 1   0.2   1.1867   0.0850            0.4   1.3566       0.767           го, что в знаменатель расчетной формулы метода
 2   0.4   1.3484   0.0755            0.6   1.4993       0.699           (2.20) входит разность значений функции. Вблизи
 3   0.6   1.4938   0.0690            0.8   1.6180       0.651           корня эта разность мала, и метод теряет устойчи-
 4   0.8   1.6272   0.0645            1.0   1.7569       0.618           вость.
 5   1.0   1.7542                                                        Критерий окончания. Критерий окончания итера-
     Сравним полученное приближенное реше-                               ций метода секущих такой же, как и для метода
ние с точным решением (6.11), представленном в                           Ньютона. При заданной точности ε > 0 вычисле-
таблице 6.2. Видим, что погрешность составляет                           ния нужно вести до тех пор, пока не будет выпол-
              R = max | y(ti) – yi| = 0.0222.                            нено неравенство
                     0 ≤ k ≤5                                                                 | xn – xn – 1| < ε.   (2.22)
                  6.4. Метод Рунге – Кутта                                                      Пример 2.4.
      Метод Рунге – Кутта является одним из наи-                                Применим метод секущих для вычисления
более употребительных методов высокой точно-                             положительного корня уравнения 4(1 – x2) – ex = 0
сти. Метод Эйлера можно рассматривать как про-                           с точностью ε = 10–3.
стейший вариант метода Рунге – Кутта.                                           Корень этого уравнения находится на отрез-
      Рассмотрим задачу Коши для дифференци-                             ке [0, 1], так как
ального уравнения                                                                      f (0) = 3 > 0, а f (1) = – e < 0.

                                114                                                             31

Страницы