Введение в численные методы. Гладких О.Б - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

11 12 13
21 22 23
31 32 33
122
1
2
3
... ... ... ...
n
n
n
nn n nn
ааа
ааа
...
...
...
...
...
а
а
ааа
ааа
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
1
2
3
...
n
а
а
⎟
x
А
x
x
x
x
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
1
2
3
n
b
b
bb
b
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
=
По правилу Крамера система n линейных уравне-
ний имеет единственное решение, если определи-
тель системы отличен от нуля (det
A
≠
0) и значе-
ние каждого из неизвестных определяется сле-
дующим образом:
x
j
=
A
A
j
det
det
109
,
j = 1, …, n, (3.3)
где det
A
j
– определитель матрицы, получаемой
заменой
j-го столбца матрицы A столбцом правых
частей
b.
Непосредственный расчет определителей
для больших
n является очень трудоемким по
сравнению с численными методами.
Известные в настоящее время многочислен-
ные приближенные методы решения систем ли-
нейных алгебраических уравнений распадаются на
две большие группы: прямые методы и методы
итераций.
Прямые методы всегда гарантируют получе-
ние решения, если оно существуют, однако, для
больших
n требуется большое количество опера-
y = 2t 1
+
. (6.11)
Для сравнения точного и приближенного
решений представим точное решение (6.11) в виде
таблицы 6.2:
Таблица 6.2
i
0 1 2 3 4 5
t
i
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
y(t
i
) 1.0000 1.1832 1.3416 1.4832 1.6124 1.7320
Из таблицы видно, что погрешность составляет R
= max
05k≤
| y(t
i
) – y
i
| = 0.0917.
≤
6.3. Модифицированные методы Эйлера
Первый модифицированный метод Эйлера. Суть
этого метода состоит в следующем. Сначала вы-
числяются вспомогательные значения искомой
функции y в точках t
2
1
+i
2
1
+i
= t
i
+
2
h
с помощью
формулы:
y
2
1
+i
= y
i
+
2
h
f
i
= y
i
+
2
h
f(t
i
, y
i
).
Затем находится значение правой части уравнения
(6.1) в средней точке
f
2
1
+i
= f (t
2
1
+i
, y )
2
1
+i
и затем полагается
36 
    ⎛ а11 а12    а13     ...      а1n ⎞     ⎛ x1 ⎞        ⎛ b1 ⎞                     y = 2t + 1 .           (6.11)
    ⎜а                   ...           ⎟    ⎜x ⎟          ⎜b ⎟          Для сравнения точного и приближенного
    ⎜ 21 а22     а23              а2 n ⎟    ⎜ 2⎟          ⎜ 2⎟
                                                                   решений представим точное решение (6.11) в виде
А = ⎜ а31 а32    а33     ...      а3n ⎟ x = ⎜ x3 ⎟    b = ⎜ b3 ⎟
    ⎜                                  ⎟    ⎜ ⎟           ⎜ ⎟      таблицы 6.2:
    ⎜ ... ...    ...     ...      ... ⎟     ⎜ ... ⎟       ⎜ ⎟                                         Таблица 6.2
    ⎜а                   ...      аnn ⎟⎠    ⎜x ⎟          ⎜b ⎟
    ⎝ n1 аn 2    аn 2                       ⎝ n⎠          ⎝ n⎠       i      0      1      2      3      4      5
По правилу Крамера система n линейных уравне-                       ti      0     0.2    0.4    0.6    0.8    1.0
ний имеет единственное решение, если определи-                     y(ti) 1.0000 1.1832 1.3416 1.4832 1.6124 1.7320
тель системы отличен от нуля (det A ≠ 0) и значе-                  Из таблицы видно, что погрешность составляет R
ние каждого из неизвестных определяется сле-                       = max | y(ti) – yi| = 0.0917.
                                                                     0 ≤ k ≤5
дующим образом:
                        det A j                                           6.3. Модифицированные методы Эйлера
                xj =              , j = 1, …, n,          (3.3)
                        det A                                      Первый модифицированный метод Эйлера. Суть
где det Aj – определитель матрицы, получаемой                      этого метода состоит в следующем. Сначала вы-
заменой j-го столбца матрицы A столбцом правых                     числяются вспомогательные значения искомой
частей b.                                                                                                                                  h
     Непосредственный расчет определителей                         функции y       1        в точках t               1    = ti +             с помощью
                                                                                i+
                                                                                   2
                                                                                                                  i+
                                                                                                                     2
                                                                                                                                           2
для больших n является очень трудоемким по                         формулы:
сравнению с численными методами.                                                                              h          h
     Известные в настоящее время многочислен-                                    y          1   = yi +          fi = yi + f(ti, yi).
                                                                                       i+
                                                                                            2
                                                                                                              2          2
ные приближенные методы решения систем ли-
нейных алгебраических уравнений распадаются на                     Затем находится значение правой части уравнения
две большие группы: прямые методы и методы                         (6.1) в средней точке
итераций.                                                                             f 1 = f (t 1 , y 1 )
                                                                                                     i+                  i+       i+
                                                                                                          2                   2        2
      Прямые методы всегда гарантируют получе-                     и затем полагается
ние решения, если оно существуют, однако, для
больших n требуется большое количество опера-
                                  36                                                                            109

Страницы