Введение в численные методы. Гладких О.Б - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Геометрическая интерпретация одного шага
метода Эйлера заключается в том, что решение на
отрезке [t
i
, t
i+1
] заменяется касательной
y = y' (t
i
)( t – t
i
),
проведенной в точке (t
i
, y(t
i
)) к интегральной кри-
вой, проходящей через эту точку. После выполне-
ния n шагов неизвестная интегральная кривая за-
меняется ломаной линией (ломаной Эйлера).
Оценка погрешности.
Для оценки погрешности
метода Эйлера воспользуемся следующей теоре-
мой.
Теорема 6.2. Пусть функция f удовлетворяет усло-
виям:
дy
дf
≤ K,
dt
df
= f
дy
дf
дt
дf
+
0
max
in
≤ L. (6.4)
Тогда для метода Эйлера справедлива следующая
оценка погрешности:
R =
≤
≤
| y(t
i
) – y
i
| ≤
KL
e
n
Ll
2
2
=
KL
e
hl
2
2
39
k
ij
1−k
ij
k
1−
kj
k
i
1−k 1−
22 23 2n 2
2
33 3n
2
3
nn n
1−k
ik
a = a – m
i
a
k
,
b = b
i
– m
k
i
b
k
k
, i, j = k + 1, k + 2, …, n. (3.7)
Индекс k принимает значения 1, 2, …, n – 1.
При k = n – 1 получим треугольную систему:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ … + a
1n
x
n
= b
1
1 1 1 1
a x
2
+ a x
3
+ …+ a x
n
= b
2
a x
3
+ …+ a x
n
= b (3.8)
…………………………………………….
1−n 1−n
a x
n
= b
с треугольной матрицей A
n
.
Приведение системы (3.1) к треугольному
виду (3.8) составляет прямой ход метода Гаусса.
При использовании метода Гаусса нет необ-
ходимости в предварительном обосновании суще-
ствования и единственности решения (т. е. доказа-
тельства, что det
A ≠ 0). Если на k-ом шаге все
элементы
,
a (i = k, k + 1, …, n)
нулю, то система
где l – длина отрезка [t
0
, T]. Мы видим , что метод
Эйлера имеет первый порядок точности.
окажутся равными (3.1) не имеет
единственного решения.
Оценка погрешности метода Эйлера часто
бывает затруднительна, так как требует вычисле-
ния производных функции f (t, y(t)). Грубую оцен-
ку погрешности дает правило Рунге (правило двой-
ного пересчета), которое используется для раз-
личных одношаговых методов, имеющих p-ый по-
Обратный ход состоит в вычислении пере-
менных. Из последнего уравнения (3.8) определя-
ем x
n..
. Подставляя его в предпоследнее уравнение,
находим x
n-1
, и т. д. Общие формулы имеют вид:
106
      Геометрическая интерпретация одного шага                                           a ijk = a ijk −1 – m ik a kkj−1 ,
метода Эйлера заключается в том, что решение на           b ik = b ik − 1 – m ik b kk −1 , i, j = k + 1, k + 2, …, n. (3.7)
отрезке [ti, ti+1] заменяется касательной                Индекс k принимает значения 1, 2, …, n – 1.
                      y = y' (ti)( t – ti),                     При k = n – 1 получим треугольную систему:
проведенной в точке (ti, y(ti)) к интегральной кри-
вой, проходящей через эту точку. После выполне-                a11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
ния n шагов неизвестная интегральная кривая за-                a 122 x2 + a 123 x3 + …+ a 12n xn = b 12
меняется ломаной линией (ломаной Эйлера).                      a 332 x3 + …+ a 3n2 xn = b 32                        (3.8)
Оценка погрешности. Для оценки погрешности                     …………………………………………….
метода Эйлера воспользуемся следующей теоре-                   a nnn−1 xn = b nn−1
мой.
Теорема 6.2. Пусть функция f удовлетворяет усло-         с треугольной матрицей An.
виям:                                                           Приведение системы (3.1) к треугольному
          дf      df   дf дf                             виду (3.8) составляет прямой ход метода Гаусса.
             ≤ K,    =   +   f ≤ L.             (6.4)           При использовании метода Гаусса нет необ-
          дy      dt   дt дy
                                                         ходимости в предварительном обосновании суще-
Тогда для метода Эйлера справедлива следующая
                                                         ствования и единственности решения (т. е. доказа-
оценка погрешности:
                                                         тельства, что det A ≠ 0). Если на k-ом шаге все
                                     l 2 L KL l 2 h KL
         R=    max | y(ti) – yi| ≤        e =      e ,   элементы
               0≤i ≤ n                2n        2
                                                                         a ikk −1 (i = k, k + 1, …, n)
где l – длина отрезка [t0, T]. Мы видим , что метод
                                                         окажутся равными нулю, то система (3.1) не имеет
Эйлера имеет первый порядок точности.
                                                         единственного решения.
       Оценка погрешности метода Эйлера часто
                                                                Обратный ход состоит в вычислении пере-
бывает затруднительна, так как требует вычисле-
                                                         менных. Из последнего уравнения (3.8) определя-
ния производных функции f (t, y(t)). Грубую оцен-
                                                         ем xn... Подставляя его в предпоследнее уравнение,
ку погрешности дает правило Рунге (правило двой-
                                                         находим xn-1, и т. д. Общие формулы имеют вид:
ного пересчета), которое используется для раз-
личных одношаговых методов, имеющих p-ый по-

                         106                                                            39

Страницы