Введение в численные методы. Гладких О.Б - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

где s – число перестановок строк, (s = 0, если ис-
пользовался метод Гаусса по схеме единственного
деления).Таким образом,
Оценим погрешность полученного значения. Вы-
числим четвертую производную
f
(4)
(x):
99
2
x−
f
(4)
(x) = (16x
4
– 48x
2
+ 12) e , | f
(4)
(x)| ≤ 12.
det
A = (–1)
s
a
11
a a …a . (3.17)
1
22
2
33
1−n
nn
Поэтому
Итак, для вычисления определителя det
A
необходимо выполнить процедуру прямого хода в
методе Гаусса для системы уравнений
Ax = 0, за-
тем найти произведение главных элементов, стоя-
щих на диагонали треугольной матрицы и умно-
жить это произведение на (–1)
s
, где s – число пере-
становок строк.
Пример 3.3.
Вычислим определитель
2.0 1.0 0.1 1.0
0.4 0.5 4.0 8.5
det
A = 0.3 1.0 1.0 5.2
1.0 0.2 2.5 1.0
Данный определитель совпадает с определителем
системы, рассмотренной в примере 3.1. Он равен
произведению диагональных элементов треуголь-
ной матрицы (3.13):
det
A = 2.0 ⋅ 0.30 ⋅ 16.425 ⋅ 1.12 = 11.0376.
Если же обратиться к примеру 3.2, то, учи-
тывая, что была одна перестановка строк, т.е.
s = 1,
получим:
det
A = (–1) ⋅ 2.0 ⋅ (–1.15) ⋅ 4.28478 ⋅ 1.11998 =
= 11.0375.
|
I – I
С
| ≤
2880
112
⋅
(0.1)
4
≈ 0.42 ⋅ 10
– 6
.
Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и
5.3, видим , что метод Симпсона имеет меньшую
погрешность, чем метод средних прямоугольников
и метод трапеций.
5.5. Правило Рунге практической оценки
погрешности
Оценки погрешности по формулам (5.4),
(5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят
от длины элементарного отрезка
h, и при доста-
точно малом
h справедливо приближенное равен-
ство:
I – I
h
≈ Ch
k
, (5.15)
где I
h
приближенное значение интеграла, вычис-
ленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9),
C ≠ 0
и
k > 0 – величины, не зависящие от h.
Если уменьшить шаг
h в два раза, то, в соот-
ветствии с (5.15) получим:
I – I
h/2
≈
k
2
1
Ch
k
≈
k
2
1
( I – I
h
). (5.16)
46 
где s – число перестановок строк, (s = 0, если ис-          Оценим погрешность полученного значения. Вы-
пользовался метод Гаусса по схеме единственного             числим четвертую производную f (4)(x):
деления).Таким образом,
                                                                f (4)(x) = (16x4 – 48x2 + 12) e − x , | f (4)(x)| ≤ 12.
                                                                                                       2


          det A = (–1)s a11 a 122 a 332 …a nnn−1 . (3.17)
                                                            Поэтому
      Итак, для вычисления определителя det A                                         12 ⋅ 1
необходимо выполнить процедуру прямого хода в                          | I – IС | ≤          (0.1)4 ≈ 0.42 ⋅ 10 – 6.
                                                                                      2880
методе Гаусса для системы уравнений Ax = 0, за-                   Сравнивая результаты примеров 5.1, 5.2 и
тем найти произведение главных элементов, стоя-             5.3, видим , что метод Симпсона имеет меньшую
щих на диагонали треугольной матрицы и умно-                погрешность, чем метод средних прямоугольников
жить это произведение на (–1)s, где s – число пере-         и метод трапеций.
становок строк.                                                    5.5. Правило Рунге практической оценки
                      Пример 3.3.                                             погрешности
      Вычислим определитель
                                                                  Оценки погрешности по формулам (5.4),
                     2.0 1.0 0.1 1.0                        (5.8) и (5.12) являются априорными. Они зависят
                     0.4 0.5 4.0 8.5
                                                            от длины элементарного отрезка h, и при доста-
            det A = 0.3 1.0 1.0 5.2
                                                            точно малом h справедливо приближенное равен-
                     1.0 0.2 2.5 1.0
                                                            ство:
Данный определитель совпадает с определителем                                  I – Ih ≈ Chk,         (5.15)
системы, рассмотренной в примере 3.1. Он равен
произведению диагональных элементов треуголь-               где Ih приближенное значение интеграла, вычис-
ной матрицы (3.13):                                         ленное по одной из формул (5.3), (5.5), (5.9), C ≠ 0
     det A = 2.0 ⋅ 0.30 ⋅ 16.425 ⋅ 1.12 = 11.0376.          и k > 0 – величины, не зависящие от h.
      Если же обратиться к примеру 3.2, то, учи-                  Если уменьшить шаг h в два раза, то, в соот-
тывая, что была одна перестановка строк, т.е. s = 1,        ветствии с (5.15) получим:
получим:                                                                                  1         1
                                                                             I – Ih/2 ≈       Chk ≈ k ( I – Ih).       (5.16)
      det A = (–1) ⋅ 2.0 ⋅ (–1.15) ⋅ 4.28478 ⋅ 1.11998 =                                  2 k
                                                                                                   2
            = 11.0375.

                           46                                                                99

Страницы