Введение в численные методы. Гладких О.Б - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ЕГУ им. Бунина | Елец

Составители: 

Рубрика: 

Оценим погрешность полученного значения.
Имеем:
может привести к недостаточно точному результа-
ту. Рассмотрим метод простой итерации Якоби,
свободный от этих недостатков, хотя требующий
приведения исходной системы уравнений к специ-
альному виду.
f "(x) = (e )" = (4x
2
– 2) e .
убедиться
2
x−
2
x−
Нетрудно , что | f "(x)| ≤ M
2
= 2. По-
этому по формуле(5.4)
Для того чтобы применить метод простой
итерации, необходимо систему уравнений
|
I – I
пр
| ≤
24
12
⋅
(0.1)
2
≈ 0.84⋅ 10
-3
.
Ax = b (3.22)
5.3. Метод трапеций
с квадратной невырожденной матрицей A привес-
ти к виду
Выведем формулу трапеций так же, как и
формулу прямоугольников, из геометрических со-
ображений. Заменим график функции
y = f(x)
(рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной
следующим образом. Из точек
a = x
0
, x
1
, x
2
,… x
n
=.b
проведем ординаты до пересечения с кривой
y.=.f(x). Концы ординат соединим прямолинейны-
ми отрезками.
x = Bx + c, (3.23)
где
B – квадратная невырожденная матрица с эле-
ментами
b
ij
,.i,.j=1,.2,…,.n, x – вектор-столбец неиз-
вестных
x
i
, c – вектор-столбец с элементами c
i
,
i.=.
1, 2, …, n.
Существуют различные способы приведения
системы (3.22) к виду (3.23). Рассмотрим самый
простой. Представим систему (3.22) в развернутом
виде:
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ a
13
x
3
+ … + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ a
23
x
3
+ … + a
2n
x
n
= b
2
a
31
x
1
+ a
32
x
2
+ a
33
x
3
+ … + a
3n
x
n
= b
3
(3.24)
…………………………………………….
a
n1
x
1
+ a
n2
x
2
+ a
n3
x
3
+ … + a
nn
x
n
= b
n
Рис. 5.7.
Из первого уравнения системы (3.24) выразим не-
известную
x
1
:
Тогда площадь криволинейной трапеции прибли-
женно можно считать равной площади фигуры,
x
1
= a (b
1
– a
12
x
2
– a
13
x
3
– … – a
1n
x
n
),
1
11
−
94
51
     Оценим погрешность полученного значения.                может привести к недостаточно точному результа-
Имеем:                                                       ту. Рассмотрим метод простой итерации Якоби,
               f "(x) = (e − x )" = (4x2 – 2) e − x .        свободный от этих недостатков, хотя требующий
                                 2                   2




     Нетрудно убедиться, что | f "(x)| ≤ M2 = 2. По-         приведения исходной системы уравнений к специ-
этому по формуле(5.4)                                        альному виду.
                                 2 ⋅1                               Для того чтобы применить метод простой
                 | I – Iпр | ≤        (0.1)2 ≈ 0.84⋅ 10-3.
                                 24                          итерации, необходимо систему уравнений
                                                                                    Ax = b                  (3.22)
                  5.3. Метод трапеций                        с квадратной невырожденной матрицей A привес-
       Выведем формулу трапеций так же, как и                ти к виду
формулу прямоугольников, из геометрических со-                                      x = Bx + c,             (3.23)
ображений. Заменим график функции y = f(x)                   где B – квадратная невырожденная матрица с эле-
(рис.5.1) ломаной линией (рис.5.7), полученной               ментами bij,.i,.j=1,.2,…,.n, x – вектор-столбец неиз-
следующим образом. Из точек a = x0, x1, x2,… xn=.b           вестных xi, c – вектор-столбец с элементами ci,
проведем ординаты до пересечения с кривой                    i.=.1, 2, …, n.
y.=.f(x). Концы ординат соединим прямолинейны-                      Существуют различные способы приведения
ми отрезками.                                                системы (3.22) к виду (3.23). Рассмотрим самый
                                                             простой. Представим систему (3.22) в развернутом
                                                             виде:
                                                                 a11x1 + a12 x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
                                                                 a21x1 + a22 x2 + a23x3 + … + a2nxn = b2
                                                                 a31x1 + a32 x2 + a33x3 + … + a3nxn = b3   (3.24)
                                                                 …………………………………………….
                                                                 an1x1 + an2 x2 + an3x3 + … + annxn = bn
                       Рис. 5.7.
                                                             Из первого уравнения системы (3.24) выразим не-
Тогда площадь криволинейной трапеции прибли-                 известную x1:
женно можно считать равной площади фигуры,                          x1 = a 11−1 (b1 – a12x2 – a13x3 – … – a1nxn),

                            94                                                        51

Страницы