Составители:
3.7. Метод Зейделя
x
i
1 2 3 4 5
y
i
–1 1 2 4 6
P
1
(x
i
) –1 0.7 2.4 4.1 5.8
P
2
(x
i
)
–1 0.62 2.24 4 6.9
Модификацией метода простых итераций
Якоби можно считать метод Зейделя.
В методе Якоби на (
k+1)-ой итерации значе-
ния
x
1+k
i
(i.=.1, 2, …, n) вычисляются подстановкой
в правую часть (3.27) вычисленных на предыду-
щей итерации значений
x
k
. В методе Зейделя при
вычислении
x используются значения x , x ,
x ,
уже найденные на (k+1)-ой итерации, а не x ,
x , …, x
, как в методе Якоби, т.е. (k + 1)-е при-
ближение строится следующим образом:
Погрешность приближения в соответствии с
формулами (4.31) и (4.39) составит
i
+k
i
1
1
+k 1
2
+k
k
1
k
2 1
1
1
+k k
3
k
n 1−
k
n
1
2
+k
k
n 1
−
n
1
3
+k
1 2
+k k
n 1−
k
n
n 1−
3
0 ...
00...
0 ...
... ... ... ...
...
nn n
b
bb
bbb
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
12 13 1
23 2
3
0 ...
0 0 ...
0 0 0 ...
... ... ... ... ...
0 0 0 ... 0
n
n
n
bb b
bb
b
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
1
1
1
+
−
k
i
k
i−
x =b
12
x + b
13
x +…+ b
1 n-1
x + b
1n
x + c
1
x
= b x
1+
+ b
k
+…+ b + b
k
+ c
k
2
21
1
23
x
3
2 n-1
x
2n
x
2
x = b x
k
+ b x
1
+…+ b x + b x + c
k
31 32 3 n-1 3n 3
………………………………………………………
1+
x
1+k
= b x
1+k
+ b x x
1+k
+ b x x
1+k
+…+b x
n1
1
n2 n3
3
n n-1
n
n
2
1+k
+c
Формулы (3.36) являются расчетными формулами
метода Зейделя
.
Введем нижнюю и верхнюю треугольные
матрицы:
B
1
=
21
31 32
12
0 0 0
0
0
...
0
B
2
=
(3.36)
87
Δ
1
=
()
∑
=
−
4
0
2
1
)(
5
i
ii
xPy
1
= 0.245.
()
Δ
2
=
∑
=
−
4
0
2
2
)(
5
1
i
ii
xPy
∫
a
dxxf )(
dxe
x
∫
−
0
2
= 0.084.
Тема 5. Численное интегрирование функций
одной переменной
5.1. Постановка задачи численного
интегрирования
Далеко не все интегралы можно вычислить
по известной из математического анализа формуле
Ньютона – Лейбница:
b
I = = F(b) – F(a), (5.1)
где
F(x) – первообразная функции f(x). Например,
в элементарных функциях не выражается интеграл
b
. Но даже в тех случаях, когда удается вы-
разить первообразную функцию
F(x) через эле-
ментарные функции, она может оказаться очень
58
3.7. Метод Зейделя xi 1 2 3 4 5
Модификацией метода простых итераций yi –1 1 2 4 6
Якоби можно считать метод Зейделя. P1(xi) –1 0.7 2.4 4.1 5.8
В методе Якоби на (k+1)-ой итерации значе- P2(xi) –1 0.62 2.24 4 6.9
ния x i (i.=.1, 2, …, n) вычисляются подстановкой
k +1
Погрешность приближения в соответствии с
в правую часть (3.27) вычисленных на предыду- формулами (4.31) и (4.39) составит
щей итерации значений x ik . В методе Зейделя при 4
1
Δ1 = ∑ ( yi − P1 ( xi ) ) = 0.245.
2
вычислении x ik +1 используются значения x 1k +1 , x k2 +1 , i =0 5
x ik−+11 , уже найденные на (k+1)-ой итерации, а не x 1k , 4
1
Δ2 = ∑ 5 (y − P2 ( xi ) ) = 0.084.
2
x k2 , …, x i−k 1 , как в методе Якоби, т.е. (k + 1)-е при- i =0
i
ближение строится следующим образом:
Тема 5. Численное интегрирование функций
x 1k +1 =b12 x k2 + b13 x 3k +…+ b1 n-1 x kn −1 + b1n x kn + c1 одной переменной
x k2 +1 = b21 x 1k +1 + b23 x 3k +…+ b2 n-1 x kn −1 + b2n x kn + c2 5.1. Постановка задачи численного
x = b31 x 1k +1 + b32 x k2 +1 +…+ b3 n-1 x kn −1 + b3n x kn + c3
k +1
3
интегрирования
……………………………………………………… (3.36) Далеко не все интегралы можно вычислить
x kn +1 = bn1x 1k +1 + bn2 x x k2 +1 + bn3 x x 3k +1 +…+bn n-1x kn +−11 +cn по известной из математического анализа формуле
Ньютона – Лейбница:
Формулы (3.36) являются расчетными формулами b
I = ∫ f ( x )dx = F(b) – F(a), (5.1)
метода Зейделя. a
Введем нижнюю и верхнюю треугольные где F(x) – первообразная функции f(x). Например,
матрицы: в элементарных функциях не выражается интеграл
⎛ 0 0 0 ... 0⎞ ⎛ 0 b12 b13 ... b1n ⎞ b
⎜b 0 ⎟⎟ ⎜0 0
B1 = ⎜ 21 0 0 ... B2 = ⎜ b23 ... b2 n ⎟⎟ ∫e
− x2
dx . Но даже в тех случаях, когда удается вы-
⎜ b31 b32 0 ... 0⎟ ⎜0 0 0 ... b3n ⎟ 0
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ разить первообразную функцию F(x) через эле-
⎜ ... ... ... ... ... ⎟ ⎜ ... ... ... ... ... ⎟
⎜b b bn3 ... 0 ⎟⎠ ⎜0 0 0 ... 0 ⎟⎠ ментарные функции, она может оказаться очень
⎝ n1 n 2 ⎝
58 87
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
