Составители:
ция среднеквадратического уклонения (метод
наименьших квадратов) и др.);
C =
1
=
0
12
cc
cc
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
0
2
00
1
n
i
nn
ii
nx
x
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑∑
∑
=
n
i
i
y
0
∑
=
n
i
ii
xy
0
3. Необходимо указать правило (алгоритм), позво-
ляющее с заданной точностью найти прибли-
жение функции.
b
= (b
0
, b
1
)
T
= ( , )
T
.
4.2. Приближение функции многочленами
Тейлора
Решение системы уравнений
Ca = b найдем по
правилу Крамера:
Пусть функция
y = f(x) определена в окрест-
ности точки
a и имеет в этой окрестности n + 1
производную. Тогда в этой окрестности справед-
лива формула Тейлора:
a
0
=
C
C
1
C
C
2
, a
1
= ,
где
⎥C⎥ – определитель матрицы C, а⎥C
i
⎥ – опреде-
литель матрицы
C
i
, полученной из матрицы C за-
меной
i-го столбца столбцом свободных членов b, i
= 1, 2.
f (x) = c
0
+ c
1
(x – a) + c
2
(x – a)
2
+ … +
+ c
n
(x – a )
n
+ R
n
(x) = T
n
(x) + R
n
(x),
Таким образом,
a
0
=
2
120
1120
ccc
c
−
bcb
−
, a
1
=
2
120
1001
ccc
cbcb
−
−
. (4.30)
Алгоритм 4.1.
(Алгоритм метода наименьших квадратов.
Линейная аппроксимация
)
Шаг 1. Ввести исходные данные:
x
i
, y
i
, i=0, 1, 2, ... , n.
Шаг 2. Вычислить коэффициенты c
0
, c
1
, b
0
, b
1
по
формулам (4.28), (4.29).
Шаг 3. Вычислить a
0
, a
1
по формулам (4.30).
63
где
c
k
=
!
)(
)(
k
af
k
T
n
(x) – многочлен Тейлора:
T
n
(x)= c
0
+ c
1
(x – a) +
+c
2
(x – a)
2
+… + c
n
(x – a )
n
, (4.1)
R
n
(x) – остаточный член формулы Тейлора, его
можно записать различными способами, например,
в форме Лагранжа:
R
n
(x)=
1
)1(
)(
)!1(
)(
+
+
−
+
n
n
ax
n
ξ
f
, a
≤
ξ
≤
x.
Многочлен Тейлора (4.1) обладает свойством, что
в точке
x = a все его производные до порядка n
82
⎛ n
⎞ ция среднеквадратического уклонения (метод
⎛c c1 ⎞ ⎜
n +1 ∑0 xi ⎟ наименьших квадратов) и др.);
C= ⎜ 0 =⎜ ⎟ 3. Необходимо указать правило (алгоритм), позво-
⎝ c1 c2 ⎟⎠ ⎜ n n
⎟
⎜ ∑ xi ∑0 xi2 ⎟⎠ ляющее с заданной точностью найти прибли-
⎝ 0 жение функции.
n n
b = (b0, b1)T = ( ∑ yi , ∑ yi xi )T. 4.2. Приближение функции многочленами
i =0 i =0
Тейлора
Решение системы уравнений Ca = b найдем по Пусть функция y = f(x) определена в окрест-
правилу Крамера: ности точки a и имеет в этой окрестности n + 1
C1 C
a0 = , a1 = 2 , производную. Тогда в этой окрестности справед-
C C
лива формула Тейлора:
где ⎥C⎥ – определитель матрицы C, а⎥Ci⎥ – опреде-
f (x) = c0 + c1(x – a) + c2(x – a)2 + … +
литель матрицы Ci, полученной из матрицы C за-
+ cn(x – a )n + Rn(x) = Tn(x) + Rn(x),
меной i-го столбца столбцом свободных членов b, i
= 1, 2. f ( k ) (a )
где ck =
Таким образом, k!
b0 c2 − b1c1 bc −b c Tn(x) – многочлен Тейлора:
a0 = , a1 = 1 0 0 2 1 . (4.30)
c0 c2 − c1
2
c0 c2 − c1 Tn(x)= c0 + c1(x – a) +
+c2(x – a)2 +… + cn(x – a )n, (4.1)
Алгоритм 4.1.
Rn(x) – остаточный член формулы Тейлора, его
(Алгоритм метода наименьших квадратов.
можно записать различными способами, например,
Линейная аппроксимация)
в форме Лагранжа:
Шаг 1. Ввести исходные данные: f ( n +1) (ξ )
Rn(x)= ( x − a ) n +1 , a ≤ ξ ≤ x.
xi, yi, i=0, 1, 2, ... , n. ( n + 1)!
Шаг 2. Вычислить коэффициенты c0, c1, b0, b1 по Многочлен Тейлора (4.1) обладает свойством, что
формулам (4.28), (4.29). в точке x = a все его производные до порядка n
Шаг 3. Вычислить a0, a1 по формулам (4.30).
82 63
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
