Математическое моделирование электромеханических систем. Аналитические методы. Глазырин А.С. - 55 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

55
11
0
λλ
(1) (1)
012
0
()
() Re()Im().
()
tt
C
it
x
tNheNhe
Ut
⎡⎤
==⋅⋅+⋅⋅
⎢⎥
⎣⎦
Запишем каждую компоненту общего решения отдельно:
11
λλ
01 λ12λ1
() Re(1 ) Im( 1 );
tt
it N h e N h e=⋅ ⋅ +⋅ ⋅
11
λλ
01 λ12λ1
() Re( 2 ) Im( 2 ).
tt
C
Ut N h e N h e=⋅ ⋅ +⋅ ⋅
Найдем составляющие общего решения однородной СДУ.
По формуле Эйлера для комплексных чисел
(
)
1
λ
( αβ) αβ α
cos(β )sin(β );
t
jt t jt t
ee ee e tj t
−+ − − −
==⋅=⋅ +
(
)
1
λ
α
λ1
1cos(β )sin(β );
t
t
he e tj t
−
⋅= ⋅ +
11
λλ
αα
λ1 λ1
Re( 1 ) cos(β ), Im( 1 ) sin(β ).
tt
tt
he e t he e t
−−
⋅=⋅ ⋅=⋅
Для разделения вещественной и мнимой частей второй составляю-
щей
λ1
2h
собственного вектора домножим числитель и знаменатель
λ1
2h
на число, комплексно сопряженное знаменателю
λ1
2h :
λ1
1
11 (αβ)
2.
λ ( αβ)(αβ)(αβ)
j
h
CC jC j j
−
−
== =
⋅ ⋅−+ ⋅−+ ⋅−−
Учитывая формулу умножения комплексно сопряженных чисел
друг на друга, запишем:
()()()
λ1
22 22 22
( αβ) αβ
2;
αβ αβ αβ
j
hj
CCC
−−
==−−
⋅+ ⋅+ ⋅+
()()
()
1
λ
αα
λ1
22 22
αβ
2cos(β )sin(β )
αβ αβ
t
tt
he j e tje t
CC
−−
⎛⎞
⎜⎟
⋅=− − ⋅ ⋅ + ⋅ =
⎜⎟
⋅+ ⋅+
⎝⎠
() () () ()
αααα
22 22 22 22
α cos(β ) α sin(β ) β cos(β ) β sin(β )
;
αβ αβ αβ αβ
tttt
etetetet
jj
CCCC
−−−−
⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅ ⋅⋅
=− − − +
⋅+ ⋅+ ⋅+ ⋅+
() ()
1
αα
λ
λ1
22 22
β sin(β ) α cos(β )
Re( 2 ) ;
αβ αβ
tt
t
ete t
he
CC
−−
⋅⋅ ⋅⋅
⋅= −
⋅+ ⋅+
() ()
1
αα
λ
λ1
22 22
α sin(β ) β cos(β )
Im( 2 ) .
αβ αβ
tt
t
ete t
he
CC
−−
⎛⎞
⋅⋅ ⋅⋅
⎜⎟
⋅=− +
⎜⎟
⋅+ ⋅+
⎝⎠
Общее решение однородной СДУ:
11
λλ
αα
01 λ12λ11 2
() Re( 1 ) Im( 1 ) cos(β )sin(β );
tt
tt
it N h e N h e N e t N e t
−−
=⋅ ⋅ +⋅ ⋅ =⋅ ⋅ +⋅ ⋅
11
λλ
01 λ12λ1
() Re( 2 ) Im( 2 )
tt
C
Ut N h e N h e=⋅ ⋅ +⋅ ⋅ =

Страницы