Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 30 стр.

   Таким образом, с учетом того, что |OC| = x, |CM | = y, из (4.2) —
(4.5) получим         
                      
                       x = x′ cos α − y ′ sin α
                      
                                                 .              (4.6)
                       y = x′ sin α + y ′ cos α

    Формулы (4.6) дают выражение старых координат (x, y) через новые
(x′ , y ′ ).
    З а м е ч а н и е. Для того чтобы получить выражение новых коор-
динат через старые, достаточно угол α в формулах (4.6) заменить на
угол (−α), так как при повороте системы координат X ′ OY ′ на угол
(−α) мы получим систему XOY .
    Выразим новые координаты через старые. Получим
                        
                        
                           x′ = x cos(−α) − y sin(−α)
                        
                                                        ,        откуда
                           y ′ = x sin(−α) + y cos(−α)
                            
                            
                               x′ = x cos α + y sin α
                            
                                                         .                    (4.7)
                               y ′ = −x sin α + y cos α

   4.2. Исследование кривых второго порядка
   Основной алгоритм при исследовании кривых второго порядка со-
стоит в следующем.
1) Поворачиваем систему координат XOY вокруг начала координат на
угол α, получаем систему координат X ′ OY ′ .
2) Осуществляем параллельный перенос системы координат X ′ OY ′ и
получаем каноническое уравнение кривой в системе координат X ′′ O′ Y ′′ .
   Подставим формулы (4.6) в (4.1). Получим
     A(x′ cos α − y ′ sin α)2 + 2B(x′ cos α − y ′ sin α)(x′ sin α + y ′ cos α)+
+C(x′ sin α+y ′ cos α)2 +D(x′ cos α−y ′ sin α)+E(x′ sin α+y ′ cos α)+F = 0.
   Соберем коэффициенты при соответствующих неизвестных.
   При x′2 получим
                   A′ = A cos2 α + 2B cos α sin α + C sin2 α,
при x′ y ′ :
     2B ′ = −2A cos α sin α + 2B(cos2 α − sin2 α) + 2C sin α cos α,           (4.8)

                                          30