Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 31 стр.

при y ′2 :
                C ′ = A sin2 α − 2B sin α cos α + C cos2 α,
при x′ :
                          D′ = D cos α + E sin α,
при y ′ :
                         E ′ = −D sin α + E cos α.
  Таким образом, уравнение (4.1) с учетом замены (4.6) перепишется в
виде
           A′ x′2 + 2B ′ x′ y ′ + C ′ y ′2 + D′ x′ + E ′ y ′ + F = 0. (4.9)
   Подберем угол α таким образом, чтобы коэффициент 2B ′ = 0. Из
(4.8) следует, что

                    2B ′ = (C − A) sin 2α + 2B cos 2α,

поэтому
                     (A − C) sin 2α − 2B cos 2α = 0,
                         (A − C)tg2α = 2B,
                                    2B
                           tg 2α =      .
                                   A−C
   После такого преобразования уравнение (4.1) примет вид

                   A′ x′2 + C ′ y ′2 + D′ x′ + E ′ y ′ + F = 0.      (4.10)

  Задача 4.2.1. Доказать, что при повороте на любой угол α имеет
место равенство
                      AC − B 2 = A′ C ′ − B ′2 .           (4.11)
  О п р е д е л е н и е 4.1. Величины, которые не меняются при
преобразованиях, называются инвариантными.
  Так как мы подобрали угол α так, что B ′ = 0, то из (4.11) следует,
что
                        A′ C ′ = AC − B 2 .                    (4.12)
   Чтобы проанализировать уравнение кривой (4.10), рассмотрим три
случая:

                                       31