Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2
0
. Пусть F
′
> 0, тогда в уравнении (4.14) слева стоит неотрицатель-
ное число, а справа — отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих
данному уравнению, не существует.
3
0
. Пусть F
′
= 0. Тогда уравнению (4.14) удовлетворяет только одна
точка (0, 0), то есть точка с координатами x
′′
= 0, y
′′
= 0.
4.2.2. Гиперболический случай
Из AC −B
2
< 0 следует, что A
′
C
′
< 0, то есть числа A
′
, C
′
имеют
разные знаки. Повторяя предыдущие рассуждения, получим уравнение
кривой
A
′
x
′′2
+ C
′
y
′′2
+ F
′
= 0.
1
0
. Пусть F
′
6= 0. Тогда
x
′′2
−
F
′
A
′
+
y
′′2
−
F
′
C
′
= 1. (4.17)
Так как A
′
и C
′
разных знаков, то одна скобка больше нуля, а
другая скобка меньше нуля.
Пусть
−
F
′
A
′
= a
2
,
F
′
C
′
= b
2
, (4.18)
тогда мы получим каноническое уравнение гиперболы
x
′′2
a
2
−
y
′′2
b
2
= 1.
Если знаки у скобок поменять местами, то получим гиперболу, дей-
ствительная ось которой лежит на оси (O
′
Y
′′
), а мнимая ось — на оси
(O
′
X
′′
):
−
x
′′2
a
2
+
y
′′2
b
2
= 1.
2
0
. При F
′
= 0 уравнение принимает вид
A
′
x
′′2
+ C
′
y
′′2
= 0. (4.19)
Пусть A
′
> 0, тогда (−C
′
) > 0 и уравнение (4.19) перепишется в
33
   20 . Пусть F ′ > 0, тогда в уравнении (4.14) слева стоит неотрицатель-
ное число, а справа — отрицательное, поэтому точек, удовлетворяющих
данному уравнению, не существует.

   30 . Пусть F ′ = 0. Тогда уравнению (4.14) удовлетворяет только одна
точка (0, 0), то есть точка с координатами x ′′ = 0, y ′′ = 0.

   4.2.2. Гиперболический случай
   Из AC − B 2 < 0 следует, что A′ C ′ < 0, то есть числа A′ , C ′ имеют
разные знаки. Повторяя предыдущие рассуждения, получим уравнение
кривой
                       A′ x′′2 + C ′ y ′′2 + F ′ = 0.
  10 . Пусть F ′ 6= 0. Тогда
                              x′′2        y ′′2
                                    +          = 1.            (4.17)
                              − FA′       − CF ′
                                  ′            ′




   Так как A′ и C ′ разных знаков, то одна скобка больше нуля, а
другая скобка меньше нуля.
   Пусть
                        F′    2     F′
                      − ′ =a ,        ′
                                        = b2 ,             (4.18)
                        A           C
тогда мы получим каноническое уравнение гиперболы
                                x′′2 y ′′2
                                    − 2 = 1.
                                a2    b
   Если знаки у скобок поменять местами, то получим гиперболу, дей-
ствительная ось которой лежит на оси (O ′ Y ′′ ), а мнимая ось — на оси
(O′ X ′′ ):
                              x′′2 y ′′2
                            − 2 + 2 = 1.
                              a     b
   20 . При F ′ = 0 уравнение принимает вид

                           A′ x′′2 + C ′ y ′′2 = 0.                (4.19)

  Пусть A′ > 0, тогда (−C ′ ) > 0 и уравнение (4.19) перепишется в



                                        33

Страницы