Решение задач по аналитической геометрии. Линии второго порядка. Глушакова Т.Н - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

1) AC − B
2
> 0 (эллиптический случай);
2) AC − B
2
< 0 (гиперболический случай);
3) AC − B
2
= 0 (параболический случай).
4.2.1. Эллиптический случай
Из AC − B
2
> 0 следует, что A
′
C
′
> 0, то есть знаки A
′
, C
′
совпадают. Пусть A
′
> 0, C
′
> 0. Выделим полные квадраты при
неизвестных x
′
, y
′
, получим
A
′
x
′2
+ 2x
′
D
′
2A
′
+
D
′
2A
′
2
−
D
′
2A
′
2
+
+C
′
y
′2
+ 2y
′
E
′
2C
′
+
E
′
2C
′
2
−
E
′2
4C
′
+ F = 0.
Дополним члены, содержащие x
′
и y
′
, до полно го квадрата:
A
′
x
′
+
D
′
2A
′
2
+ C
′
y
′
+
E
′
2C
′
2
+ F
′
= 0, (4.13)
где F
′
= −
D
′2
4A
′
−
E
′2
4C
′
+ F .
Положим x
′′
= x
′
+
D
′
2A
′
, y
′′
= y
′
+
E
′
2C
′
, тогда уравнение (4.13) пе-
репишется в виде
A
′
x
′′2
+ C
′
y
′′2
= −F
′
. (4.14)
1
0
. Пусть F
′
< 0. Разделим обе части уравнения (4.14) на (−F
′
),
тогда
x
′′2
−
F
′
A
′
+
y
′′2
−
F
′
C
′
= 1. (4.15)
Так как
−F
′
A
′
> 0 и
−F
′
C
′
> 0, то можем считать, что
−
F
′
A
′
= a
2
, −
F
′
C
′
= b
2
. (4.16)
Из (4 .15), (4.16) следует, что мы получили каноническое уравнение
эллипса
x
′′2
a
2
+
y
′′2
b
2
= 1.
32
1) AC − B 2 > 0 (эллиптический случай);
2) AC − B 2 < 0 (гиперболический случай);
3) AC − B 2 = 0 (параболический случай).

   4.2.1. Эллиптический случай
   Из AC − B 2 > 0 следует, что A′ C ′ > 0, то есть знаки A′ , C ′
совпадают. Пусть A′ > 0, C ′ > 0. Выделим полные квадраты при
неизвестных x′ , y ′ , получим
                                                            2           2 
                                           ′                ′             ′
                                     D  D       D
               A′  ′2   ′
                  x + 2x               +     −                              +
                                     2A′   2A′     2A′
                                                        2 
                                       ′                ′
                                     E  E                            E ′2
            +C ′ 
                 y
                    ′2
                         + 2y   ′
                                          +                       −      + F = 0.
                                     2C ′   2C ′                       4C ′
   Дополним члены, содержащие x′ и y ′ , до полного квадрата:
                                 2                                2
                 ′ ′ D′    ′ ′ E′ 
                A x +      +C y +      + F ′ = 0,                                      (4.13)
                      2A′         2C ′

       ′   D′2    E ′2
где F = − ′ −          + F.
           4A     4C ′
               ′′   ′   D′       ′′    ′     E′
   Положим x = x +          , y =y +              , тогда уравнение (4.13) пе-
                        2A′                  2C ′
репишется в виде
                         A′ x′′2 + C ′ y ′′2 = −F ′ .                   (4.14)
   10 . Пусть F ′ < 0. Разделим обе части уравнения (4.14) на (−F ′ ),
тогда
                            x′′2    y ′′2
                                ′ +      ′ = 1.                (4.15)
                           − FA′    − CF ′
           −F ′      −F ′
   Так как      >0 и      > 0, то можем считать, что
            A′       C′
                                F′                          F′
                           −     ′
                                   = a2 ,               −     ′
                                                                = b2 .                 (4.16)
                                A                           C
   Из (4.15), (4.16) следует, что мы получили каноническое уравнение
эллипса
                              x′′2 y ′′2
                                  + 2 = 1.
                               a2   b
                                                   32

Страницы