Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 30 стр.

                                                   - 30 -

определители под знаком суммы равны                                        a j x n −1 .         Таким образом,
                   n
D =x n +x n −1 ∑ a j .
                   j =1
Пример 2.7.1.2. Вычислить определитель
                               x1          a2    a3 ... an
                               a1          x2    a3 ... an
                       D = a1 a2                  x3 ... an .                                            (2.7.1.3)
                               ...         ...    ... ...          ...
                               a1 a2             a3 ... xn
                                                 Р е ш е н и е.
Представим первую строку в (5.3) следующим образом
( x1 a2 a3 ... an ) =( x1 −a1 0 0 ... 0) +(a1 a2 a3 ... an ) ,                                              тогда

                  x1 −a1       0           0     ...   0             a1 a2         a3 ... an
                    a1      x2             a3 ... an                 a1     x2     a3 ... an
        D=          a1      a2             x3 ... an + a1 a2                       x3 ... an .
                    ...        ...         ... ...     ...           ...    ...    ... ...        ...
                    a1      a2             a3 ... xn                 a1 a2         a3 ... xn
(2.7.1.4)
Во втором определителе вычтем                                        первую         строку         из       второй,
третьей,…, n -ой строк и получим
      a1 a2         a3 ... an                    a1          a2              a3           ...     an
      a1    x2      a3 ... an                     0    x2 −a2                0            ...      0
      a1    a2       x3 ... an = 0                           0             x3 −a3 ...              0         =
      ...   ...      ... ...         ...         ...         ...             ...          ...      ...
      a1 a2         a3 ... xn                     0          0               0            ... xn −an

                           =a1 ( x2 −a2 )( x3 −a3 )...( xn −an ) .
В первом определителе в (5.4) представим вторую строку в виде
суммы (a1 x2 a3 ... an ) =(0 x2 −a2 0 0 ... 0) +(a1 a2 a3 ... an ) .
Первый определитель тогда запишется в виде суммы