Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 31 стр.

                                                 - 31 -


 x1 −a1            0        0    ...     0             x1 −a1        0           0      ...       0
    0           x2 −a2      0    ...     0               a1         a2           a3 ... an
    a1            a2       x3 ... an +                   a1         a2           x3 ... an .
    ...            ...     ... ...       ...             ...         ...         ... ...          ...
    a1            a2       a3 ... xn                     a1         a2           a3 ... xn
Второй            определитель    в     последней   сумме   будет   равен
a2 ( x −a1 )( x −a2 )...( x −an ) и т. д. В конечном итоге мы получим
                                                        ∑ a j ( x1 −a1 )( x2 −a2 )...( xn −an )
  D =( x1 −a1 )( x2 −a2 )...( xn −an ) +                                                                      =
                                                                                 ( x j −a j )
                                                        �        aj �
                     =( x1 −a1 )( x2 −a2 )...( xn −an )� 1 +∑             � .
                                                          �   x j −a j ��
                                                            �

Пример 2.7.1.3. Вычислить определитель
                                1 +x1 y1         1 +x1 y2          ... 1 +x1 yn
                                1 +x2 y1 1 +x2 y2                  ... 1 +x2 yn
                         D=                                                                   .
                                   ...                 ...         ...            ...
                                1 +xn y1 1 +xn y2                  ... 1 +xn yn
(2.7.1.5)
                                               Р е ш е н и е.
Представим первую строку определителя в виде суммы двух строк
(1 1 ... 1) +( x1 y1 x1 y2 ... x1 yn ) . Тогда
            1             1        ...           1                         y1                 y2        ...    yn
         1 +x2 y1 1 +x2 y2 ... 1 +x2 yn                             1 +x2 y1 1 +x2 y2                   ... 1 +x2 yn
D=                                                           +x1
            ...           ...      ...           ...                       ...                ...       ...    ...
         1 +xn y1 1 +xn y2         ... 1 +xn yn                     1 +xn y1 1 +xn y2                   ... 1 +xn yn
Поступая аналогичным образом со второй строкой двух последних
определителей, по следствию свойства 3) получим