Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 36 -
Обозначим через
'
D
определитель , полученный из
D
вычитанием 1 из всех его элементов, т.е.
1...000
...............
0...100
0...010
0...001
'
−
−
−
−
=D .
Очевидно, что
n
D )1(' −= . Алгебраические дополнения к
внедиагональным элементам определителя
'
D
равны нулю , а к
диагональным
1
)1(
−
−
n
. Тогда, в силу формулы (2.7.2.2),
)1()1()1()1()1()1(
111
−−=+−−=−+−=
−
−
−
nnnD
nnnn
.
Пример 2.7.2.2.
Вычислить определитель
1...
...............
...1
...1
...1
xxx
xxx
xxx
xxx
D = .
Р е ш е н и е.
Вычитаем из всех элементов определителя величину
x
и обозначаем
через
D
определитель
x
x
x
D
−
−
−
=
1...0
............
0...10
...01
0
0
.
Очевидно, что
n
xD )1(' −= , алгебраические дополнения к
внедиагональ - ным элементам , как и в примере 2.7.2.1, равны нулю , а к
диагональным
1
)1(
−
−
n
x. Таким образом ,
)1)1(()1()1()1(
11
+−−=−+−=
−
−
xnxxnxxD
nnn
.
Упражнения. 
                                              - 36 -

    Обозначим     через             D'        определитель,               полученный            из         D
                                                                        −1        0     0     ...    0
                                                                        0         −1    0     ...    0
вычитанием 1 из всех его элементов, т.е. D' = 0                                   0     −1 ...       0     .
                                                                        ...       ...   ...   ...    ...
                                                                        0         0     0     ... −1
Очевидно,   что   D' =(−1) .              n
                              Алгебраические  дополнения  к
внедиагональным элементам определителя   D' равны нулю, а к
                     n −1
диагональным ( −1)          . Тогда, в силу формулы (2.7.2.2),
        D =(−1) n +(−1) n −1 n =(−1) n −1 (−1 +n) =(−1) n −1 (n −1) .

Пример 2.7.2.2. Вычислить определитель

                                     1         x          x ...   x
                                     x         1          x ...   x
                            D= x               x          1 ...   x .
                                     ... ... ... ... ...
                                     x         x          x ... 1
                          Р е ш е н и е.
Вычитаем из всех элементов определителя величину x и обозначаем
через D определитель
                                   1 −x             0       ...   0
                                    0          1 −x ...           0
                       D=                                                     .
                                    ...             ...     ...   ...
                                    0               0       ... 1 −x
  Очевидно, что     D' =(1 −x) ,                n
                                    алгебраические дополнения к
внедиагональ-ным элементам, как и в примере 2.7.2.1, равны нулю, а к
                        n −1
диагональным (1 −x )           .    Таким образом,
           D =(1 −x) n +nx(1 −x) n −1 =(1 −x) n −1 (( n −1) x +1) .


                                        Упражнения.

Страницы