Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 40 -
z
y
x
+
−
,
z
y
x
−
+
,
z
y
x
+
+
−
взаимно простые, то определитель
(2.7.3.1) делится на их произведение. Это произведение содержит член
)(
4
z −
. Значит,
)
)(
)(
)(
(
z
y
z
y
z
y
z
y
D
−
+
+
−
+
+
−
+
+
−
=
.
Пример 2.7.3.2. Вычислить определитель
1...321
...............
...121
...311
...321
+
+
+
x
nx
nx
n
. (2.7.3.2)
Р е ш е н и е .
Определитель (2.7.3.2) является многочленом от переменной
x
.
Корнями этого многочлена являются те значения
x
, при которых определитель
(2.7.3.2) равен нулю . При
1
=
в (2.7.3.2.) совпадают 1-я и 2-я строки , а значит,
определитель (2.7.3.2) делится на
)
1
(
−
, так как
1
=
– корень
многочлена. При
2
=
в (2.7.3.2) совпадают 1-я и 3-я строки , а значит,
исходный определитель делится на
)
2
(
−
, и т.д. Таким образом, (2.7.3.2)
делится на
)
1
)...(
2
)(
1
(
+
−
−
−
n
. Очевидно , что коэффициент при
старшей степени многочлена равен 1. Таким образом,
)
1
)...(
2
)(
1
(
+
−
−
−
=
n
D
.
У п р а ж н е н и я .
Вычислить следующие определители методом выделения линейных
множителей :
1)
xn
x
x
−+
−
−
1...111
...............
1...311
1...121
1...111
; 2)
cedba
cdeab
decab
ecdba
edcba
; 
                                                - 40 -

   x −y +z ,     x +y −z ,      −x +y +zвзаимно простые, то определитель
   (2.7.3.1) делится на их произведение. Это произведение содержит член
   (−z 4 ) . Значит,
                D =−( x +y +z )(−x +y +z )( x −y +z )( x +y −z ) .

Пример 2.7.3.2. Вычислить определитель
                        1      2            3         ...   n
                        1     x +1          3         ...   n
                        1      2           x +1 ...         n     .                      (2.7.3.2)
                        ...    ...          ...       ...   ...
                        1      2            3         ... x +1
                             Р е ш е н и е.
       Определитель (2.7.3.2) является многочленом от переменной x .
Корнями этого многочлена являются те значения x , при которых определитель
(2.7.3.2) равен нулю. При x =1 в (2.7.3.2.) совпадают 1-я и 2-я строки, а значит,
определитель (2.7.3.2) делится на           ( x −1) , так как x =1 – корень
многочлена. При x =2 в (2.7.3.2) совпадают 1-я и 3-я строки, а значит,
исходный определитель делится на ( x −2) , и т.д. Таким образом, (2.7.3.2)
делится на ( x −1)( x −2)...( x −n +1) . Очевидно, что коэффициент при
старшей      степени     многочлена      равен      1.  Таким        образом,
                      D =( x −1)( x −2)...( x −n +1) .

                      У п р а ж н е н и я.
     Вычислить следующие определители методом выделения линейных
множителей :

   1       1      1     ...          1                                   a b     c   d      e
   1      2 −x    1     ...          1                                   a b d       c      e
1) 1       1     3 −x ...            1            ;                   2) b   a   c   e     d    ;
    ...    ...    ...   ...          ...                                 b a     e   d      c
   1       1      1     ... n +1 −x                                      a b d       e      c

Страницы