Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 42 стр.

                                                        - 42 -

данный определитель n -го порядка выражают, преобразуя и разлагая его по
строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого
порядка. Полученное равенство называется рекуррентным или возвратным
соотношением.
     Этот способ можно видоизменить следующим образом. В рекуррентное
соотношение, выражающее определитель n -ого порядка через определители
низшего порядка, подставляют выражение определителя ( n −1) -го порядка,
получающегося заменой n на ( n −1) , затем подобным образом подставляют
выражение определителя ( n −2) -го порядка и т.д., пока не придем к общему
выражению данного определителя n -го порядка.

Пример 2.7.4.1. Вычислить определитель ( n +1) -го порядка

                       a0           −1          0           0         ... 0           0
                       a1           x           −1          0         ... 0           0
                       a2           0           x           −1 ... 0                  0
            Dn +1 =                                                                          .                (2.7.4.1)
                       ...          ...         ...         ...       ... ...         ...
                      an −1         0           0           0         ...   x     −1
                      an            0           0           0         ... 0           x

                            Р е ш е н и е.
      Разложим определитель Dn +1 по последней строке
                             −1           0           ...         0
                                                                                a0          −1    0     ... 0
                              x           −1 ...                  0
                                                                                a1          x     −1 ... 0
      Dn +1 =(−1) n +2 an 0               x           ...         0 +x
                                                                                ...         ...   ...   ... ...
                              ...         ...         ...     ...
                                                                            an −1           0     0     ...   x
                              0           0           ... −1
или
                                        Dn +1 =an +xDn .                                                      (2.7.4.2)

    Теперь вычислим определитель (2.7.4.1), пользуясь формулой (2.7.4.2).
Для n =0 D1 =a0 , для       n =1     D2 =a0 x +a1 .    Положим,     что
                   Dn +1 =a0 x n +a1 x n −1 +... +an −1 x +an .
      Предположим,       что         Dk =a0 x k −1 +a1 x k −2 +... +ak −1 x +ak .                               В силу