Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 44 -
nnnnnnn
aaaaaaaDaaD
22112121
......
−−−−
−
−
=
.
Продолжая раскрывать определители
2−n
D
,
3−n
D
и т.д., в итоге получим
+++−=
n
nn
aaa
aaaD
1
...
11
...
21
21
.
Пример 2.7.4.3. Вычислить определитель
n
n
a
a
a
a
D
1...0001
.....................
00...101
00...011
00...001
10...0001
2
2
1
1
=
+
.
Р е ш е н и е .
Разложим определитель
1+n
D
по последнему столбцу, получим
1...001
...............
0...101
0...11
0...01
)1(...
2
1
2
211
a
a
aaaD
n
nn
+
+
−+=
,
а определитель
1...001
...............
0...101
0...11
0...01
2
1
a
a
вычислим аналогично определи -
телю из примера 2.7.4.1. В итоге получим, что
n
n
n
nnn
aaaaaaaD )1()1(.........
1
121211
−+−++−=
−
−+
. 
                                                - 44 -

             Dn =an an −1 Dn −2 −a1a2 ...an −1 −a1a2 ...an −2 an .
Продолжая раскрывать определители Dn −2 , Dn −3 и т.д., в итоге получим
                                               � 1 1        1�
                    Dn =−a1a2 ...an ��              + +... + �� .
                                                � a1 a2     an �

Пример 2.7.4.3. Вычислить определитель

                           1       0       0     0       ... 0     1
                           1    a1         0     0       ... 0     0
                           1       1    a2       0       ... 0     0
                 Dn +1 =                                                 .
                           1       0       1    a2 ... 0           0
                           ... ...       ...     ... ... ... ...
                           1       0       0     0       ... 1     an
                            Р е ш е н и е.
     Разложим определитель Dn +1 по последнему столбцу, получим

                                                         1   a1    0         ...   0
                                                         1    1    a2        ...   0
             Dn +1 =a1a2 ... an +(−1) n +2 1                  0    1         ...   0 ,
                                                         ... ...   ...       ... ...
                                                         1    0    0         ...   1

                       1       a1      0       ... 0
                       1       1       a2      ... 0
а определитель         1       0       1       ... 0         вычислим аналогично определи-
                       ... ...         ...     ... ...
                       1       0       0       ... 1
телю из примера 2.7.4.1. В итоге получим, что
           Dn +1 =a1a2 ...an −a1a2 ...an −1 +... +(−1) n −1 an +(−1) n .

Страницы