Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 43 -
(2.7.4.2) имеем
=++++=+=
−
−
−
+
)...(
1
2
1
1
01 k
kk
kkkk
axaxaxaxDaD
kk
kk
axaxaxa ++++=
−
−
1
1
10
...
Пример 2.7.4.2. Вычислить определитель
n
-ого порядка
n
n
a
a
a
D
...001
...............
0...01
0...01
1...110
2
1
= .
Р е ш е н и е .
Разложим
n
D
по последней строке , получим
+−=
−
+
0...00
...............
00...0
00...0
11...11
)1(
...001
...............
0...01
0...01
1...110
1
2
1
1
2
1
n
n
n
a
a
a
a
a
a
(2.7.4.3)
1
1
1
...001
...............
0...01
0...01
1...110
−
+
n
n
a
a
a
a
.
Разложим первый определитель в (2.7.4.3) по последнему столбцу , получим
121
...)1(
−
−
n
n
aaa .
Следовательно ,
1211
...
−−
−
=
nnnn
aaaDaD
. Для
1−n
D
верно
аналогичное соотношение
221211
...
−−−−
−
=
nnnn
aaaDaD ,
поэтому 
                                                - 43 -

(2.7.4.2) имеем
           Dk +1 =ak +xDk =ak +x (a0 x k −1 +a1 x k −2 +... +ak −1 ) =
                          =a0 x k +a1 x k −1 +... +ak −1 x +ak

Пример 2.7.4.2. Вычислить определитель n -ого порядка

                                       0    1       1         ...         1
                                       1   a1       0         ...         0
                             Dn = 1         0      a2         ...         0        .
                                       ... ...      ...       ... ...
                                       1    0       0         ... an

                                  Р е ш е н и е.
      Разложим Dn         по последней строке, получим
          0    1    1      ...    1                    1           1         ...       1     1
          1   a1    0      ...    0                    a1          0         ...       0     0
          1    0    a2     ...    0 =(−1) n +1 0                   a2        ...       0     0+       (2.7.4.3)
          ... ...   ...    ... ...                     ...         ...       ...       ...   ...
          1    0    0      ... an                      0           0         ... an −1       0

                                      0    1       1         ...         1
                                      1    a1      0         ...         0
                                 +an 1     0      a1 ...                 0 .
                                      ... ...     ... ...                ...
                                      1    0       0         ... an −1

Разложим первый определитель в (2.7.4.3) по последнему столбцу, получим
                               (−1) n a1a2 ...an −1 .
Следовательно,       Dn =an Dn −1 −a1a2 ...an −1 .                             Для            Dn −1      верно
аналогичное соотношение
                           Dn −1 =an −1Dn −2 −a1a2 ...an −2 ,
поэтому

Страницы