Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 5 -
называется
произведением
матрицы
A
на число
β
и обозначается
A
β
:
A
С
β
=
.
Утверждение. Для любых матриц
A
,
B
и
C
одних и тех же размеров и
любых чисел
α
и
β
выполнены равенства :
1)
A
A
+
=
+
;
2)
)
(
)
(
C
A
C
A
+
+
=
+
+
;
3)
A
A
α
α
α
+
=
+
)
(
;
4)
)
(
)
(
A
A
β
α
αβ
=
.
1.1.2. Умножение матриц
Пусть даны матрицы
mnij
aA )(
=
и
npij
dD )(
=
.
Определение 10.
Произведением матриц
A
и
D
называется такая
матрица
mpij
cC )(
=
, элементы которой определяются по формулам
∑
=
=
n
k
kjikij
dac
1
, то есть элемент
ij
с равен сумме произведений элементов
i
-той
строки матрицы
A
на элементы
j
-го столбца матрицы
D
.
Замечание 1. Целесообразность такого определения произведения матриц
мы проиллюстрируем следующей задачей.
Задача. Пусть дана линейная функция двух переменных
212111
zazay
+
=
, а
1
z
и
2
z
, в свою очередь, являются линейными функциями
переменных
1
x
и
2
x
, то есть
2121111
xbxbz
+
=
и
2221212
xbxbz
+
=
. Найти
зависимость
y
от
1
x
и
2
x
. После несложных элементарных выкладок получим
22212121121121111
)()( xbabaxbabaz
x
+
+
+
=
.
Коэффициенты при
1
x
и
2
x
– это элементы матрицы, являющейся
произведением матриц
(
)
1211
aaA
=
и
=
2221
1211
bb
bb
B
.
Замечание 2. Произведение матриц
некоммутативно
, то есть в общем
случае
DA
AD
≠
. Если дана матрица
nmij
fF )(
=
, то произведение
AF
–
это матрица
)
(
m
m
×
, а
FA
– это матрица
)
(
n
n
×
.
Определение 11. Две
матрицы
A
и
называются
перестановочными
,
если
BA
AB
=
. 
                                     -5-

называется произведением матрицы A на число β и обозначается βA :
С =βA .
     Утверждение. Для любых матриц A , B и C одних и тех же размеров и
любых чисел α и β выполнены равенства:
1) A +B =B + A ;
2) ( A +B ) +C =A +( B +C ) ;
3) α ( A +B ) =αA +αB ;
4) (αβ ) A =α ( βA) .

1.1.2. Умножение матриц

    Пусть даны матрицы A =( aij ) mn и D =( d ij ) np .

    Определение 10. Произведением матриц A и D называется такая
матрица C =(cij ) mp , элементы которой определяются по формулам
      n
cij = ∑ aik d kj , то есть элемент сij равен сумме произведений элементов i -той
     k =1
строки матрицы A на элементы j -го столбца матрицы D .
    Замечание 1. Целесообразность такого определения произведения матриц
мы проиллюстрируем следующей задачей.

    Задача.         Пусть дана линейная функция двух переменных
y =a11 z1 +a12 z2 , а z1 и z2 , в свою очередь, являются линейными функциями
переменных x1 и x2 , то есть z1 =b11 x1 +b12 x2 и z2 =b21 x1 +b22 x2 . Найти
зависимость y от x1 и x2 . После несложных элементарных выкладок получим
               z =(a11b11 +a12b21 ) x x +(a11b12 +a12b22 ) x2 .
Коэффициенты при x1 и x2 – это элементы матрицы, являющейся
                                                � b11 b12 �
произведением матриц A =(a11 a12 ) и B =��                   �� .
                                                 � b21 b22 �

    Замечание 2. Произведение матриц некоммутативно, то есть в общем
случае AD ≠DA . Если дана матрица F =( f ij ) nm , то произведение AF –
это матрица ( m ×m) , а FA – это матрица ( n ×n) .
     Определение 11. Две матрицы A и B называются перестановочными,
если AB =BA .

Страницы