Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 7 стр.

                                       -7-

1.1.3. Многочлен от матрицы

    Определение 14. Пусть дан многочлен ϕ (t ) =α 0 +α1t +α 2 t +... +α k t
                                                                    2            k

и пусть A =( aij ) nn – квадратная матрица, тогда значением многочлена ϕ (t )
от матрицы A называется матрица         ϕ ( A) =α 0 E +α1 A +α 2 A2 +... +α k A k ,
                                 i
где E – единичная матрица, A – матрица, получающаяся при умножении
матрицы A на себя i раз.

 № 827 (П). Найти значение многочлена         f (t ) =3 x 2 −2 x +5 от матрицы

                                 � 1 −2 3 �
                                  �            �
                             A =� 2 −4 1 � .
                                    � 3 −5 2 �
                                     �           �
                                     Р е ш е н и е.

     Найдем       f ( A) =3 A2 −2 A +5E =3( A ⋅ A) −2 A +5E .

       � 1 −2 3 � � 1 −2 3 � � 1 −4 +9 −2 +8 −15 3 −2 +6 �
        �           ��         � �                              �
  A2 =� 2 −4 1 � � 2 −4 1 � =� 2 −8 +3 −4 +16 −5 6 −4 +2 � =
          � 3 −5 2 � � 3 −5 2 � � 3 −10 +6 −6 +20 −10 9 −5 +4 �
           �        ��          � �                               �
                                � 6 −9 7 �
                                 �            �
                              =� −3 7 4 � ;
                                   � −1 4 8 �
                                    �           �

           � 6 −9 7 �        � 1 −2 3 � � 5 0 0 � � 18 −27 21 �
            �            �    �           � �       � �           �
 f ( A) =3� −3 7 4 � −2� 2 −4 1 � +� 0 5 0 � =� −9 21 12 � +
              � −1 4 8 �        � 3 −5 2 � � 0 0 5 � � −3 12 24 �
               �           �     �         � �       � �            �

              � −2 4 −6 � � 5 0 0 � � 21 −23 15 �
               �             � �       � �           �
            +� −4 8 −2 � +� 0 5 0 � =� −13 34 10 � .
                 � −6 10 −4 � � 0 0 5 � � −9 22 25 �
                  �           � �       � �            �