Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 8 -
Ответ:
−
−
−
25229
103413
152321
.
1.2. Обратная матрица
Определение 15.
Матрица
1
−
=
A
B
называется
обратной
к квадратной
матрице
A
, если
E
BA
AB
=
=
.
Определение 16. Квадратная матрица
A
называется невырожденной ,
если она имеет единственную обратную матрицу
1
−
A
. В противном случае
A
–
вырожденная матрица
.
Утверждение. Квадратная матрица
A
порядка
является невырож-
денной в том и только том случае, если определитель этой матрицы отличен от
нуля .
Для
отыскания обратной матрицы
существуют
два способа
.
1) Припишем к матрице
nnij
aA )(
=
справа единичную матрицу и, применяя
метод Гаусса (см. § 5), преобразуем расширенную матрицу так, чтобы слева
стояла единичная матрица , тогда справа будет находиться обратная матрица
nnij
bB )(
=
:
→→
...
1...00
............
0...10
0...01
...
............
...
...
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
.
→→
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
...
............
...
...
1...00
............
0...10
0...01
...
21
22221
11211
.
Обоснование этого способа состоит в следующем.
Пусть нам дана невырожденная квадратная матрица. Задачу нахождения
обратной матрицы можно рассматривать как задачу решения матричного 
                                                    -8-

                                               � 21 −23 15 �
                                                �              �
                                       Ответ: � −13 34 10 � .
                                                  � −9 22 25 �
                                                   �             �

1.2.    Обратная матрица
                                                        −1
    Определение 15. Матрица B =A                             называется обратной к квадратной
матрице A , если AB =BA =E .

    Определение 16. Квадратная матрица A называется невырожденной,
                                              −1
если она имеет единственную обратную матрицу A . В противном случае A
– вырожденная матрица.

    Утверждение. Квадратная матрица A порядка n является невырож-
денной в том и только том случае, если определитель этой матрицы отличен от
нуля.

       Для отыскания обратной матрицы существуют два способа.

1) Припишем к матрице A =( aij ) nn справа единичную матрицу и, применяя
   метод Гаусса (см. §5), преобразуем расширенную матрицу так, чтобы слева
   стояла единичная матрица, тогда справа будет находиться обратная матрица
   B =(bij ) nn :

                  � a11          a12    ... a1n 1         0 ... 0 �
                 �                                                    �
                 � a21          a22     ... a2 n 0          1 ... 0 �
                 �                                                        → ... → .
                         ... ... ... ... ... ... ... ... �
                 �                                                      �
                 �       an1 an 2 ... ann 0 0 ... 1 ��
                     �
                                   � 1 0 ... 0 b11 b12 ... b1n �
                                    �                                             �
                                      � 0 1 ... 0 b21 b22 ... b2 n � .
                         → ... → �
                                            ... ... ... ... ... ... ... ... �
                                       �                                            �
                                         � 0 0 ... 1 b          b   ...    b          �
                                          �                  n1  n2          nn �
      Обоснование этого способа состоит в следующем.
      Пусть нам дана невырожденная квадратная матрица. Задачу нахождения
   обратной матрицы можно рассматривать как задачу решения матричного

Страницы