Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 56 -
1)
2
22
−
=
a
, следовательно ,
1
)
(
≥
A
r
;
2) 0
24
12
=
−
−
; 0
12
24
=
−
−
; 1
52
31
=
−
−
, поэтому
2
)
(
≥
A
r
;
3)
−−⋅⋅+⋅⋅−+⋅−⋅=
−
−
−
−
−
−
=
−
−
−
)1(4325)1(1)2(2
12
24
12
112
524
312
112
524
312
0
4
10
12
12
10
4
)
1
(
4
1
2
5
)
1
(
3
)
2
(
2
=
+
+
+
−
−
−
=
−
⋅
⋅
−
⋅
⋅
−
−
⋅
−
⋅
−
;
0
811
152
231
=
−
−
−
−
; 0
211
752
431
=
−
−
−
.
Следовательно ,
2
)
(
=
A
r
.
Ответ:
2
)
(
=
A
r
.
II.
Метод элементарных преобразований
.
Утверждение 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
Элементарными преобразованиями матрицы являются:
1) вычеркивание из матрицы нулевой строки;
2) умножение строки на ненулевой множитель ;
3) перестановка строк;
4) прибавление к строке другой строки , умноженной на некоторое число .
Замечание. Вычеркивание из матрицы одной из пропорциональных строк
также не меняет ранга матрицы, так как его можно представить в виде
последовательности элементарных преобразований 2), 4) и 1).
Для определения ранга матрицы преобразования 1) – 4) можно делать и для
столбцов.
Для вычисления ранга матрицу
=
knkk
n
aaa
aaa
A
...
............
...
21
11211
)
(
n
≤
                                               - 56 -

1) a22 =−2 , следовательно, r ( A) ≥1 ;

      2     −1          4 −2              −1 3
2)               =0 ;             =0 ;             =1 , поэтому r ( A) ≥2 ;
      4 −2              2    −1           −2 5


      2     −1 3        2    −1 3 2       −1
3) 4        −2 5 = 4 −2 5 4 −2 =2 ⋅ (−2) ⋅1 +(−1) ⋅ 5 ⋅ 2 +3 ⋅ 4 ⋅ (−1) −
      2     −1 1        2    −1 1 2       −1

          −2 ⋅ (−2) ⋅ 3 −( −1) ⋅ 5 ⋅ 2 −1 ⋅ 4 ⋅ (−1) =−4 −10 −12 +12 +10 +4 =0 ;

                            −1 3 −2                       −1 3 4
                            −2 5     1 =0 ;               −2 5 7 =0 .
                            −1 1     8                    −1 1 2

          Следовательно,      r ( A) =2 .

                                     Ответ:      r ( A) =2 .

II.       Метод элементарных преобразований.

      Утверждение 1. Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.
      Элементарными преобразованиями матрицы являются:
1) вычеркивание из матрицы нулевой строки;
2) умножение строки на ненулевой множитель;
3) перестановка строк;
4) прибавление к строке другой строки, умноженной на некоторое число.
   Замечание. Вычеркивание из матрицы одной из пропорциональных строк
также не меняет ранга матрицы, так как его можно представить в виде
последовательности элементарных преобразований 2), 4) и 1).
   Для определения ранга матрицы преобразования 1) – 4) можно делать и для
столбцов.
                                                            � a11      a12    ... a1n �
                                                             �                           �
      Для    вычисления      ранга       матрицу        A =� ...        ...   ...  ... �     (k ≤n)
                                                               � a     ak 2   ... a kn ��
                                                                � k1

Страницы