Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 59 -
Определение 6.
Система
линейных однородных уравнений (СЛОУ )
называется
нетривиально совместной
, если она имеет хотя бы одно ненулевое
решение.
Замечание. СЛОУ всегда совместна, так как всегда существует нулевое
решение.
Система линейных уравнений
↓ ↓
совместна несовместна
(решение существует) (решений нет)
↓ ↓
определенная неопределенная
(решение единственно ) (существует более одного решения)
Критерии совместности линейных систем :
1) Система
=+++++
=
+
+
+
+
+
mnmnmmmmm
nnmm
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
......
.................................................................
......
2211
111212111
)
(
n
m
≤
совместна тогда и только тогда , когда ранг матрицы
=
mnmmmm
nm
aaaa
aaaa
A
......
..................
......
21
111211
этой системы равен рангу расширен-
ной матрицы
=
mmnmmmm
nm
b
b
aaaa
aaaa
B ...
......
..................
......
1
21
111211
:
)
(
)
(
B
r
r
=
.
2) Для того , чтобы система линейных однородных уравнений с квадратной
матрицей
была нетривиально совместной, необходимо и достаточно ,
чтобы
0
det
=
.
5.2. Метод Гаусса
I. В этом пункте мы будем рассматривать системы линейных уравнений с
квадратными матрицами , определители которых отличны от нуля (то есть
система имеет единственное решение ): 
                                                               - 59 -

    Определение 6. Система линейных однородных уравнений (СЛОУ)
называется нетривиально совместной, если она имеет хотя бы одно ненулевое
решение.
    Замечание. СЛОУ всегда совместна, так как всегда существует нулевое
решение.

                                Система линейных уравнений
                                 ↓                                            ↓
                      совместна                                         несовместна
               (решение существует)                                     (решений нет)
                 ↓                                 ↓
    определенная                       неопределенная
(решение единственно)               (существует более одного решения)

                Критерии совместности линейных систем:


                      �    a11 x1 +a12 x2 +... +a1m xm +... +a1n xn =b1
                      �
    1) Система �          .................................................................        (m ≤n)
                      �� am1 x1 +am2 x2 +... +amm xm +... +amn xn =bm

совместна       тогда           и            только                  тогда,       когда     ранг       матрицы
    � a11      a12        ...    a1m         ...         a1n �
     �                                                          �
A =� ...        ...       ...    ...         ...          ... �       этой системы равен рангу расширен-
       � a     am2        ... a mm           ... amn ��
        � m1
               � a11                 a12           ...        a1m       ...   a1n b1 �
                �                                                                     �
ной матрицы B =   � ...                ...         ...         ...      ...  ... ... � : r ( A) =r ( B) .
                   � a               am2           ... amm              ... amn bm ��
                    � m1

2) Для того, чтобы система линейных однородных уравнений с квадратной
   матрицей A была нетривиально совместной, необходимо и достаточно,
   чтобы det A =0 .

5.2. Метод Гаусса

I.   В этом пункте мы будем рассматривать системы линейных уравнений с
квадратными матрицами, определители которых отличны от нуля (то есть
система имеет единственное решение):

Страницы