Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 61 -
проход сразу убирается
весь столбец
под главной диагональю . Получим
следующую матрицу:
=
1
12
1
1141312
12124123122
114131211
1
)(
...
)(
)(...)()()(0
..................
)(...)()()(0
...
nnnnnn
n
n
b
b
b
aaaa
aaaa
aaaaa
B
.
Если элемент 0)(
122
=
a, то найдем во 2-м столбце элемент 0)(
12
≠
i
a
)
,...,
3
(
n
i
=
и переставим 2-ю и
i
-тую строки. Если же все элементы
0)(
12
=
i
a
)
,...,
3
(
n
i
=
, то просматриваем остальные столбцы, начиная с
третьего . Пусть в
j
-м столбце второй строки элемент 0)(
12
≠
j
a, тогда
поменяем местами 2-ой и
j
-тый столбцы (не забыв, что порядок переменных
также соответственно меняется).
Затем оставляем первые две строки без изменений, вторую строку
умножаем на множитель
))((
12 i
a
−
)
,...,
3
(
n
i
=
, а
i
-тые строки – на
122
)( a
, и
прибавляем измененную вторую строку последовательно к 3, 4,… ,
-ой
строкам. И так продолжаем до тех пор, пока не пройдем все строки. В
результате получим матрицу
=
−−
−
1
12
1
1
12124123122
114131211
1
)(
...
)(
)(...0000
..................
)(...)()()(0
...
nnnnn
n
n
n
b
b
b
a
aaaa
aaaaa
B .
После того , как матрица приведена к треугольному виду, удобно
продолжить преобразования дальше и привести матрицу к диагональному виду.
Для этого умножим
n
-ю строку на
))((
1 −
−
nin
a
, а
i
-тую строку
)
1
,...,
2
,
1
(
−
−
=
n
n
i
– на
1
)(
− nnn
a
и прибавим
n
-ю строку последовательно
к
)
1
(
−
n
-ой,
)
2
(
−
n
-ой, и так до 1-ой строки . Полученная матрица будет
иметь следующий вид:
=
−−
−
1
1
1
12
1
1
1
1
1
124
1
123
1
122
1
14
1
13
1
12
1
11
1
1
)(
...
)(
)(
)(...0000
..................
0...)()()(0
0...)()()()(
nnnnn
n
b
b
b
a
aaa
aaaa
B
. 
                                            - 61 -

проход сразу убирается весь столбец под главной диагональю. Получим
следующую матрицу:
                   � a11        a12      a13                a14               ...       a1n  b1 �
                    �                                                                               �
                      � 0 (a22 )1       (a23 )1         (a24 )1               ... (a2 n )1 (b2 )1 �
              B1 =�                                                                                   .
                            ...  ...      ...                 ...             ...        ...... �
                       �                                                                            �
                         � 0 (a )       (an3 )1 (an 4 )1                      ... (ann )1 (bn )1 ��
                          �      n2 1

     Если элемент (a22 )1 =0 , то найдем во 2-м столбце элемент (a i 2 )1 ≠0
(i =3,..., n) и переставим 2-ю и i -тую строки. Если же все элементы
(ai 2 )1 =0(i =3,..., n) , то просматриваем остальные столбцы, начиная с
третьего. Пусть в j -м столбце второй строки элемент ( a2 j )1 ≠0 , тогда
поменяем местами 2-ой и j -тый столбцы (не забыв, что порядок переменных
также соответственно меняется).
      Затем оставляем первые две строки без изменений, вторую строку
умножаем на множитель ( −( a i 2 )1 ) (i =3,..., n) , а i -тые строки – на (a22 )1 , и
прибавляем измененную вторую строку последовательно к 3, 4,…, n -ой
строкам. И так продолжаем до тех пор, пока не пройдем все строки. В
результате получим матрицу

                � a11        a12  a13                  a14              ...           a1n            b1     �
                 �                                                                                  �
                   � 0 (a22 )1 ( a23 )1               (a24 )1 ...                       (b2 )1 �
                                                                                    (a2 n )1
         Bn−1 =�                                                                                        .
                         ...  ...  ...                  ...             ...    ...        ... �
                    �                                                                                 �
                      � 0     0    0                    0               ... (ann ) n−1 (bn ) n−1 ��
                       �
     После того, как матрица приведена к треугольному виду, удобно
продолжить преобразования дальше и привести матрицу к диагональному виду.
Для этого умножим n -ю строку на         (−(ain ) n−1 ) , а i -тую строку
(i =n −1, n −2,...,1) – на (a nn ) n−1 и прибавим n -ю строку последовательно
к ( n −1) -ой, ( n −2) -ой, и так до 1-ой строки. Полученная матрица будет
иметь следующий вид:
                     �   1       1
                                          (a13 )1             (a14 )1 ...                                 (b1 )1 ��
                 � (a11 ) (a12 )                                                               0
                  � 0      (a22 )11       (a23 )11            (a24 )11 ...                     0          (b2 )11 �
          Bn−1 =�
           1
                                                                                                                   � .
                   � ...     ...                ...             ...             ...            ...          ...    �
                    � 0      0                  0                   0           ...     (ann )1n−1    (bn )1n−1 ��
                       �

Страницы