Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 60 стр.

                                                    - 60 -


              � a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 +a14 x4 +... +a1n xn =b1
               � a x +a x +a x +a x +... +a x =b
                � 21 1 22 2      23 3    24 4         2n n     2
              �                                                                              .
              �        ...................................................................
              �� an1 x1 +an 2 x2 +an 3 x3 +an 4 x4 +... +ann xn =bn

     Над уравнениями системы можно производить элементарные
преобразования (см. §4), которые переводят систему в эквивалентную ей.
     Одним из методов решения систем является метод последовательного
исключения неизвестных (метод Гаусса), основанный на использовании
элементарных преобразований и приведении системы к треугольному или
трапециевидному виду.
     На практике при решении систем
                  � a11 x1 +a12 x2 +a13 x3 +a14 x4 +... +a1n xn =b1
                   � a x +a x +a x +a x +... +a x =b
                    � 21 1 22 2      23 3    24 4         2n n     2
                  �
                  � .....................................................................
                   �� an1 x1 +an 2 x2 +an 3 x3 +an 4 x4 +... +ann xn =bn
методом Гаусса сначала выписывают расширенную матрицу этой системы:

                          � a11          a12    a13       a14      ... a1n b1 �
                           �                                                        �
                             � a         a22    a23      a24       ... a2 n b2 �
                      B =� 21                                                           .
                                   ...    ...    ...       ...     ...    ... ... �
                              �                                                     �
                                � a      an 2   an3      an 4      ... ann bn ��
                                 � n1
      Будем считать, что a11 ≠0 , в противном случае всегда можно
переставить строки матрицы так, чтобы в первой строке стоял элемент,
отличный от нуля. Затем, если есть строка, начинающаяся с 1, ее переставляют
вверх.
      Первую строку просто переписываем. Для получения 1-го нулевого
столбца под главной диагональю лучше умножить 1-ю строку на множитель
(−a21 ) , 2-ую – на a11 ( чтобы не было дробных множителей) и прибавить
измененную 1-ю строку ко второй, затем умножить исходную 1-ю строку на
(−a31 ) , 3-ю – на a11 и прибавить измененную 1-ю строку к третьей и т.д., то
есть 1-ая строка умножается на множитель ( −ai1 ) (i =2,..., n) , а                              i -тая –
соответственно на a11 и измененная 1-я строка прибавляется к i -той. За один