Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 62 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

- 62 -
Затем аналогичные преобразования будут проделаны с
)
1
(
−
n
-ой
строкой и так далее, пока мы не получим диагональную матрицу
=
−
−
−
−
−
1
1
2
1
1
1
1
122
11
1
1
)(
...
)(
)(
)(...0000
..................
0...00)(0
0...000)(
n
n
n
nnn
n
n
n
n
b
b
b
a
a
a
B
.
Разделим теперь
i
-тую строку
)
,...,
2
(
n
i
=
на
)1(
1
)(
−
in
i
ii
a
, а 1-ую
строку – на
1
11
)( a
. И окончательно получаем
=
0
02
01
0
)(
...
)(
)(
100000
..................
0...0010
0...0001
n
b
b
b
B
.
Таким образом,
=
=
=
0
022
011
)(
...
)(
)(
nn
bx
bx
bx
.
Пример 5.2.1. Решить систему уравнений
=+−−
=+++
=+++
=+++
727
152
534
4232
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
.
Р е ш е н и е .
→
−−−−−
→
−− 4
1
5
7
2132
1152
1134
2111422
7
1
5
4
2111
1152
1134
2132
                                                                - 62 -

     Затем аналогичные преобразования будут проделаны с ( n −1) -ой
строкой и так далее, пока мы не получим диагональную матрицу

                                  � (a11 ) n           0              0            0 ...             0       (b1 ) n ��
                                �
                           �             0         (a22 )1n−1         0            0 ...             0      (b2 ) n−1 �
               Bnn−−11   =�                                                                                                  � .
                             �           ...          ...             ... ... ...                 ...              ...       �
                               �         0             0              0            0 ...       (ann )1n−1     (bn ) ��   1
                                 �
     Разделим теперь i -тую строку                                 (i =2,..., n) на (aii ) in−−1(i −1) , а 1-ую
                     1
строку – на (a11 ) . И окончательно получаем

                                               � 1      0         0       0 ... 0 (b1 ) 0 �
                                               �                                            �
                                              � 0 1 0                     0 ... 0 (b2 ) 0 �
                                         B0 =�                                      .
                                                    ... ... ... ... ... ... ... �
                                               �                                  �
                                                 � 0 0 0 0 0 1 (b ) �
                                                  �                         n 0�

                                                            � x1 =(b1 ) 0
                                                             � x =(b )
                                                              � 2   2 0
     Таким образом,                                         �                          .
                                                            �            ...
                                                            �� xn =(bn ) 0

                                                                               � 2 x1 +3 x2 +x3 +2 x4 =4
                                                                                � 4 x +3 x +x +x =5
                                                                                 �   1     2   3    4
Пример 5.2.1. Решить систему уравнений                                         �                                                   .
                                                                               � 2 x1 +5x2 +x3 +x4 =1
                                                                                �� x1 −7 x2 −x3 +2 x4 =7

                                                           Р е ш е н и е.

          � 2       3  2 4�          −2 −2 −4 �
                                     1                                             1 −1 −1 2 7 �
           �                 �                  �                                                              �
             � 4 3 1 1 5�                         �                                4       3     1       1 5�
          � 2 5 1 1 1�             →                �                                                              →
                                                                                   2       5     1       1 1�
           �                   �                      �                                                        �
             � 1 −1 −1 2 7 �                            �                          2       3     1       2 4 ��
              �                  �                        �

Страницы