Руководство к решению задач по алгебре. Часть 1. Глушакова Т.Н - 65 стр.

                                                 - 65 -


    Определение 7. Неизвестные                      x1 , x2 ,..., xk называются основными
(главными), а неизвестные                  xk +1 , xk +2 ,..., xn – свободными. Основные
неизвестные выражаются через свободные следующим образом:

              �    x1 =−a1,k +1 xk +1 −a1,k +2 xk +2 −... −a1n xn +b1
              �
              �   x2 =−a2,k +1 xk +1 −a2,k +2 xk +2 −... −a2 n xn +b2
              �                                                                               .
              � ...........................................................................
               � xk =−ak ,k +1 xk +1 −ak ,k +2 xk +2 −... −ak ,n xn +bk
              �
    Полученную систему называют общим решением линейной системы
уравнений. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения.
    Частное решение получается при подстановке в общее решение
произвольных значений свободных неизвестных.
    Определение 8. Набор решений системы x1 , x2 ,..., xk называется линейно
независимым, если ранг матрицы, столбцами которой являются эти решения,
совпадает с числом этих решений.
    Утверждение. Если ранг матрицы однородной системы равен r , то
система имеет ( n −r ) линейно независимых решений.
    Определение 9. Любая система из ( n −r ) линейно независимых решений
называется фундаментальной системой решений.
    Определение 10. Фундаментальная система решений (ФСР) линейной
однородной системы уравнений – это базис в пространстве решений линейной
однородной системы.
    Замечание. Определения 9 и 10 эквивалентны.
     Любая однородная система линейных уравнений совместна, так как она
имеет нулевое решение (0,0,...,0) , которое называется тривиальным
решением.

Замечания.
1. Число базисных решений равно числу свободных неизвестных и равно
n −rangA .
2. На практике в качестве ФСР удобно брать общее решение, в котором
   единичка “пробегает” все свободные неизвестные xk +1 , xk +2 ,..., xn (то есть
   сначала    xk +1 =1, xi =0 (i =k +2,..., n) , затем                            xk +1 =0 , xk +2 =1,
   xi =0     (i =k +3,..., n) и т.д.):