Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

1 2 3 4
têa
-1
1
f11
1.2. Найдём обратное преобразование Лапласа заданной функции
t11 =
4 p + 5

Hp − 2L Hp
2
+ 4 p + 5L
;
s11 = Simplify@
ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@t11, p, tDDD
1

17
−2t
H13
4t
− 13 Cos@tD + 16 Sin@tDL
Для проверки найдём преобразование Лапласа функции s11 и сравни
м
его с t11.
Simplify@LaplaceTransform@s11, t, pD − t11D
0
1.3. В этом заданиии задача Коши для уравнения второго порядка имеет
вид
8 a
0
y''@tD + a
1
y'@tD + a
2
y@tD == f@tD,
y@0D == v
0
,y'@0D == v
1
<ê. 8a
0
−> 1, a
1
→ 0,
a
2
→−1, f@tD → 6 ∗
−t
+ Tanh@tD,v
0
→ 3, v
1
−> 1<
8−y@tD + y

@tD == 6
−t
+ Tanh@tD,y@0D == 3, y
@0D == 1<
После применения преобразования Лапласа с учётом начальных услови
й
получаем уравнение для определения изображения Y решения.
LaplaceTransform@−y@tD + y

@tD == 6
−t
+ Tanh@tD,t,pDê.
8LaplaceTransform@y@tD,t,pD −> Y, y@0D → 3, y
@0D −> 1<
−1 − 3p− Y + p
2
Y ==
6

1 + p
+
1

2p
J−2 − p PolyGammaA0,
p

4
E + p PolyGammaA0,
2 + p

4
EN
Замечая, что в полученном уравнении для Y участвуют спецфункци
и
P
olyGamma, решим это уравнение.
46
                                                46


                                          f11
                    1



                                                             têa
                                1          2         3   4


                 -1


    1.2. Найдём обратное преобразование Лапласа заданной функции
                         4p+5
              Hp − 2L Hp2 + 4 p + 5L
    t11 =                                       ;

    s11 = Simplify@
    ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@t11, p, tDDD

              H13
  1    −2 t             4t
                             − 13 Cos@tD + 16 Sin@tDL
 17
  Для проверки найдём преобразование Лапласа функции s11 и сравним
его с t11.

Simplify@LaplaceTransform@s11, t, pD − t11D
0

  1.3. В этом заданиии задача Коши для уравнения второго порядка имеет
вид

8 a0 y ''@tD + a1 y '@tD + a2 y@tD == f@tD,
   y@0D == v0 , y '@0D == v1 < ê. 8a0 −> 1, a1 → 0,
   a2 → −1, f@tD → 6 ∗ −t + Tanh@tD, v0 → 3, v1 −> 1<
8−y@tD + y @tD == 6                 −t
                                         + Tanh@tD, y@0D == 3, y @0D == 1<

 После применения преобразования Лапласа с учётом начальных условий
получаем уравнение для определения изображения Y решения.

LaplaceTransform@−y@tD + y @tD == 6 −t + Tanh@tD, t, pD ê.
 8LaplaceTransform@y@tD, t, pD −> Y, y@0D → 3, y @0D −> 1<
                                     6
−1 − 3 p − Y + p2 Y ==                  +
                                    1+p
       J−2 − p PolyGammaA0,   E + p PolyGammaA0,     EN
    1                       p                    2+p
    2p                      4                     4

 Замечая, что в полученном уравнении для Y участвуют спецфункции
PolyGamma, решим это уравнение.

Страницы