Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

t ê:Im@tD = 0; Off@Set::"write"D;
ρ13 = 9Arg@1 −
t
D → ArcTanA
Im@1 −
t
D

Re@1 −
t
D
E,
Arg@1 +
t
D → ArcTanA
Im@1 +
t
D

Re@1 +
t
D
E,
Abs@1 −
t
D → SqrtARe@1 −
t
D
2
+ Im@1 −
t
D
2
E,
Abs@1 +
t
D → SqrtARe@1 +
t
D
2
+ Im@1 +
t
D
2
E=
9Arg@1 −
t
D →−ArcTan@
t
D, Arg@1 +
t
D → ArcTan@
t
D,
Abs@1 −
t
D →
è!!!!!!!
!
!!!
!
!!!
1 +
2t
, Abs@1 +
t
D →
è!!!!!!!
!
!!!
!
!!!
1 +
2t
=
Поэтому y130[t] можно преобразовать к виду
y13@t_D = Simplify@y130@tDê. ρ13D
1

4
−t
H−
2t
H−12 +πL −π−12 t + 4 H1 +
2t
L ArcTan@
t
DL
Для проверки введём операцию
l13@y_D :=
Simplify@8D@#@tD,t,tD − y@tD − H6
−t
+ Tanh@tDL,
#@0D − 3, HHD@#@tD,tDL ê.t→ 0L − 1< &@yDD
После этого проверим, является ли функция y13 решением задачи
l13@y13D
80, 0, 0<
Последнее показывает, что уравнение и два начальных услови
я
выполняются.
1.4. Запишем рассматриваемую систему уравнений первого порядка
в
виде
eq14 = H8D@x@tD,tD,D@y@tD,tD< ==
88b
11
,b
12
<, 8b
21
,b
22
<<.8x@tD,y@tD< + 8f
1
,f
2
<L ê.
8b
11
−> 1, b
12
−> 3, f
1
→ 2, b
21
→ 1, b
22
→−1, f
2
→ 1<
8x
@tD,y
@tD< == 82 + x@tD + 3y@tD,1+ x@tD − y@tD<
Применим к системе уравнений eq14 преобразование Лапласа. Учитыва
я
начальные условия, найдём
48
                                          48



t ê: Im@tD = 0; Off@Set::"write"D;
                                                                tD
ρ13 = 9Arg@1 −                 D → ArcTanA                           E,
                                               Im@1 −
                                                                tD
                           t
                                               Re@1 −
                                                           D
                        D → ArcTanA                            E,
                                                       t
                                        Im@1 +
                                                       tD
                    t
    Arg@1 +
                                        Re@1 +
    Abs@1 −         t
                        D → SqrtARe@1 −          D + Im@1 −
                                                 t 2
                                                                          D E,
                                                                          t 2


    Abs@1 +         t
                        D → SqrtARe@1 +          D + Im@1 +
                                                 t 2
                                                                          D E=
                                                                          t 2


9Arg@1 −          D → −ArcTan@ t D, Arg@1 +      D → ArcTan@                              D,
                      è!!!!!!!!!!!!!!!          è!!!!!!!!!!!!!!!
                t                              t                                      t

 Abs@1 −        t
                  D → 1 + 2 t , Abs@1 +   t
                                            D → 1 + 2t=

Поэтому y130[t] можно преобразовать к виду

y13@t_D = Simplify@y130@tD ê. ρ13D

          H−        H−12 + πL − π − 12 t + 4 H1 +                    L ArcTan@       DL
1    −t        2t                                               2t               t
4
Для проверки введём операцию

l13@y_D :=
 Simplify@8D@#@tD, t, tD − y@tD − H6 −t + Tanh@tDL,
     #@0D − 3, HHD@#@tD, tDL ê. t → 0L − 1< &@yDD

После этого проверим, является ли функция y13 решением задачи

l13@y13D
80, 0, 0<

Последнее показывает,             что   уравнение          и    два    начальных          условия
выполняются.

   1.4. Запишем рассматриваемую систему уравнений первого порядка в
виде

eq14 = H8D@x@tD, tD, D@y@tD, tD< ==
    88b11 , b12 <, 8b21 , b22 <<.8x@tD, y@tD< + 8f1 , f2  1, b12 −> 3, f1 → 2, b21 → 1, b22 → −1, f2 → 1<
8x @tD, y @tD< == 82 + x@tD + 3 y@tD, 1 + x@tD − y@tD<

Применим к системе уравнений eq14 преобразование Лапласа. Учитывая
начальные условия, найдём

Страницы