Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

leq14 = LaplaceTransform@
8x
@tD,y
@tD< == 82 + x@tD + 3y@tD,1+ x@tD − y@tD<,
t, pDê. 8LaplaceTransform@x@tD,t,pD → X,
LaplaceTransform@y@tD,t,pD −> Y, x@0D →−1, y@0D → 2<
81 + pX,−2 + pY< == 9
2

p
+ X + 3Y,
1

p
+ X − Y=
Система leq14 имеет решение {X14[p],Y14[p]}
X14@pD = X ê. First@Solve@leqv14, 8X, Y<DD
−H−5 − 7p+ p
2
LêHp H−4 + p
2
LL
Y14@pD = Y ê. Last@Solve@leq14, 8X, Y<DD
−H−1 + 2p− 2p
2
LêHp H−4 + p
2
LL
Отсюда с помощью обратного преобразования Лапласа найдём решени
е
исходной задачи.
8x14@t_D, y14@t_D< = Simplify@ComplexExpand@
InverseLaplaceTransform@8X14@pD, Y14@pD<,p,tDDD
9
1

8
H−10 − 13
−2t
+ 15
2t
L,
1

8
H−2 + 13
−2t
+ 5
2t
L=
Проведём проверку полученного решения {x14[t], y14[t]}. Для этог
о
введём операцию
l14 := Simplify@8D@#1@tD,tD − #1@tD − 3 ∗ #2@tD − 2,
D@#2@tD,tD − #1@tD + #2@tD − 1, #1@0D + 1, #2@0D − 2<D &
После этого подсчитаем
l14@x14, y14D
80, 0, 0, 0<
Решение задачи найдено.
Если рассматривать решение системы как параметрически заданну
ю
кривую на плоскости {x,y}, то для иллюстрации можно воспользоватьс
я
графическими средствами системы Mathematica
ParametricPlot@8x14@tD, y14@tD<,
8t, 0, 1<, PlotRange → AllD
49
                                            49



leq14 = LaplaceTransform@
   8x @tD, y @tD< == 82 + x@tD + 3 y@tD, 1 + x@tD − y@tD<,
   t, pD ê. 8LaplaceTransform@x@tD, t, pD → X,
   LaplaceTransform@y@tD, t, pD −> Y, x@0D → −1, y@0D → 2<

81 + p X, −2 + p Y< == 9
                                 2            1
                                   + X + 3 Y,   + X − Y=
                                 p            p
Система leq14 имеет решение {X14[p],Y14[p]}

X14@pD = X ê. First@Solve@leqv14, 8X, Y

Страницы