Преобразование Лапласа. Свойства и применения. Глушко А.В - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

2 4 6 8 10 12
2.5
3
3.5
4
4.5
1.5. В соответствии со вторым законом Ньютона движение частицы
описывается дифференциальным уравнением m x''[t]ã-k x[t]+a*Cos[t].
В нашем случае k=m и r=m/3. Поэтому
Hmx''@tD −kx@tD + a ∗ Cos@tDL ê. 8k → m, r → m ê3<
mx
££
@tD ==
1
ÅÅÅÅÅ
3
m Cos@tD - mx@tD
После сокращения на m приходим к дифференциальному уравнению с
начальными условиями
eq15 = x

@tD ==
1

3
Cos@tD − x@tD;
8x@0D x
0
,x'@0D v
0
<ê. 8x
0
→ 1 ê2, v
0
→ 0<
8x@0D == 1 ê2, x
@0D == 0<
Учитывая начальные условия, с помощью преобразования Лапласа из
уравнения eq15 получим
LaplaceTransform@eq15, t, pDê.
8LaplaceTransform@x@tD,t,pD → X, x@0D → 1 ê2, x
@0D → 0<
−
p

2
+ p
2
X ==
p

3 H1 + p
2
L
− X
Отсюда находим
X15@pD = X ê. FirstASolveA−
p

2
+ p
2
X ==
p

3 H1 + p
2
L
− X, XEE
−
−5p− 3p
3

6 H1 + p
2
L
2
Обратное преобразование Лапласа позволяет получить решение
x15@t_D =
Simplify@ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@X15@pD,p,tDDD
1

6
H3 Cos@tD+ t Sin@tDL
50
                                                   50


             4.5

               4

             3.5

               3

             2.5


                        2      4       6       8        10   12


 1.5. В соответствии со вторым законом Ньютона движение частицы
описывается дифференциальным уравнением m x''[t]ã-k x[t]+a*Cos[t].
В нашем случае k=m и r=m/3. Поэтому
Hm x ''@tD         −k x@tD + a ∗ Cos@tDL ê. 8k → m, r → m ê 3<

m x££ @tD == ÅÅÅÅÅ m Cos@tD - m x@tD
              1
              3

После сокращения на m приходим к дифференциальному уравнению с
начальными условиями

eq15 = x @tD ==
                         1
                             Cos@tD − x@tD;

8x@0D                         v0 < ê. 8x0 → 1 ê 2, v0 → 0<
                      3
            x0 , x '@0D
8x@0D == 1 ê 2, x @0D == 0<

Учитывая начальные условия, с помощью преобразования Лапласа из
уравнения eq15 получим
LaplaceTransform@eq15, t, pD ê.
 8LaplaceTransform@x@tD, t, pD → X, x@0D → 1 ê 2, x @0D → 0<

                3 H1 + p2 L
    p               p
−     + p2 X ==             −X
    2

Отсюда находим

X15@pD = X ê. FirstASolveA−
                                           p                      p
                                                             3 H1 + p2 L
                                               + p2 X ==                   − X, XEE
                                           2


    6 H1 + p2 L2
    −5 p − 3 p3
−


Обратное преобразование Лапласа позволяет получить решение
x15@t_D =
 Simplify@ComplexExpand@InverseLaplaceTransform@X15@pD, p, tDDD

  H3 Cos@tD + t Sin@tDL
1
6

Страницы